これを実装したくて、調べて、テストしてました。
忘れそうなので、備忘録も兼ねて記事にします。

reCAPTCHAのAPIキーを取得する

1) reCAPTCHAにログイン

reCAPTCHAのサイトにアクセスして、Googleアカウントでログイン。

2) サイトの登録

各種設定を行い、[作成]をクリックします。

項目	設定内容
ラベル	覚えやすい名前を入力してください
reCAPTCHAタイプ	使いたいものを選択してください
ドメイン	設置するサイトのドメインを入力してください
オーナー	メールアドレスが正しいか確認してください
reCAPTCHAに同意する	チェックをONにします
アラートをオーナーに送信する	ONにします

3） APIキーを取得する

APIキー画面が表示されたら、それぞれコピーしておきましょう。
また、シークレットキーは絶対に流出しないようにしましょう。

管理画面>[設定]アイコン>[reCAPTCHAのキー]で後から確認することも可能です。

HTMLに設置する

設置したい箇所に<div class="g-recaptcha" data-sitekey="site key"></div>を入力します。
site keyにはAPIキーのサイトキーに上書きしてください。

contact.html

<form action="sample.php" method="post">
    <!-- 省略 -->
    <div class="g-recaptcha" data-sitekey="site key"></div>
    <input name="submit_buton" type="submit" id="submit_button" value="送信" class="fas">
</form>

設置はこれで完了です。

PHPで動作を記述する

サーバー側で、reCAPTCHAのチェックがONになっているか判定するコードを書く必要があります。

今回は、formを実行したときに呼び出すphpファイルの中に、以下のコードを追記してみました。
secret=secretKeyのsecretKey部分を、取得したシークレットキーに上書きしてください。

sample.php

<?php
$captcha;
if (isset($_POST['g-recaptcha-response'])) {
   $captcha = $_POST['g-recaptcha-response'];
}
if (!$captcha) {
   $alert = "<script type='text/javascript'>alert('reCAPTCHA にチェックを入れて下さい。');</script>";
   echo $alert;
   echo "<script type='text/javascript'>history.go(-1);</script>";
   exit;
}
$response = file_get_contents("https://www.google.com/recaptcha/api/siteverify?secret=secretKey&response=" . $captcha . "&remoteip=" . $_SERVER['REMOTE_ADDR']);

// reCAPTCHAが成功した場合の処理を以降に記述
// (例: お問い合わせ送信処理、投稿処理 等)

?>

チェックがONになっていない場合、
alert('reCAPTCHA にチェックを入れて下さい。');";でブラウザの通知を使ってチェックを促し、history.go(-1);で自動で前のページに戻す。という処理にしています。

また、JavaScriptを使うため、$alert = "<script type='text/javascript'>~~~</script>";と記述して、タグの中にJavaScriptコードを記述しています。

実行

チェックがOFFのままフォームを送信すると、通知ウィンドウが正しく表示されました。

また、チェックがONのときは正常に送信されることを確認しました。

Google reCAPTCHAをフォームに設置する