問題（金額仮定版）

お金の入った2つの封筒があり、片方はもう片方の2倍の金額になっている。
無作為に1つの封筒を選んだとき、交換した方が得か？ただし、選んだ方の金額を2Yとする。

証明では1000円と仮定していますが別になんでもいいです。変数xでもいいです。値がひとつに確定しているという事実が重要なので。

解く

上記のサイトより、
自然数全体からxを抽選する確率を求める関数Pが存在する場合、
$P(x) \neq P(y) \quad (x \neq y)$
を満たす自然数x, yが存在することが分かります。（1）
（関数Pが存在しないケースは備考参照）

これを前提にしたうえで、封筒問題を考えます。

封筒を開いたら1000円が入っていました。
このとき考えられる封筒の組み合わせは
(500, 1000), (1000, 2000)のいずれかです。

また、封筒の組み合わせの集合は自然数全体に対して以下のような全単射fで表現できます。

\begin{align}
f(x) &= (x, 2x) \\
f^{-1}(x) &= g((x, 2x)) = x
\end{align}

つまり、(500, 1000), (1000, 2000)がそれぞれ抽選される確率は
自然数全体から500, 1000がそれぞれ抽選される確率と同じです。

このとき、1000円から切り替えたときの期待値は以下のようになります。

500 \times \frac{P(500)}{P(500) + P(1000)} + 2000 \times \frac{P(1000)}{P(500) + P(1000)}

有名な封筒のパラドックスは$P(500) = P(1000)$の場合に発生しますが、
（1）より$P(500) \neq P(1000)$の可能性があります。

よって正確な期待値を求めることができないため、
交換するべきかしないべきかは判定できません。

お金の入った2つの封筒があり、片方はもう片方の2倍の金額になっている。
無作為に1つの封筒を選んだとき、交換した方が得か？

この場合、金額の組み合わせは
$(x, 2x) \quad (x \in \mathbb{N})$
であり、双方の封筒の期待値は

x \times \frac{1}{2} + 2x \times \frac{1}{2} = \frac{3x}{2}

と同じになるため、交換してもしなくても期待値は変わりません。

開封版の「期待値計算で使う確率」は、(x, 2x)と(x, x/2)の封筒の組み合わせが抽選される確率のことを指しています。
未開封版の「期待値計算で使う確率」は封筒を選択する確率のことを指しています。
「封筒の組み合わせの抽選確率」と「2つの封筒の片方を選ぶ確率」の違いです。

各「封筒の組み合わせ」が抽選される確率分布が分からないからです。
開封前はどのような確率分布であろうと、両方の封筒の期待値は同じになります。
開封後は確率分布が分からなければ、もう片方の期待値を求められせん。

この説明があっているのか自信がありません。
もっとうまい説明ができる人がいたら教えてください。