問題

ぼーっとしていたら、次のような問題が思いついた。

ある実数$a, b$が無作為に抽出されたとき、$a \leq b$である確率は50%であるか？

これを考える。

解答

（結論から書くと確率は50%ではない。）

$\forall x \in \mathbb{R}$に対して$x$が抽出される事象の確率密度関数を$f(x)$と定義すると以下が成り立つ。

\begin{gather}
f(x) > 0 \\
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1
\end{gather}

$a \leq b$である確率が50%だと仮定すると$\forall a \in \mathbb{R}$で以下が成り立つ。

\begin{align}
\int_{a}^{\infty} f(x) dx = \frac{1}{2} \quad (\because \ a \leq b は \exists b \in [a, \infty)と同値なため)
\end{align}

すると、$\exists a_1, a_2 \in \mathbb{R} \hspace{8px} (a_1 < a_2)$に対して

\begin{align}
\int_{a_1}^{\infty} f(x) dx = \frac{1}{2} \\
\int_{a_2}^{\infty} f(x) dx = \frac{1}{2}
\end{align}

が成り立つ。
このとき

\begin{align}
&\int_{a_1}^{\infty} f(x) dx = \frac{1}{2} \\
\Rightarrow &\int_{a_1}^{a_2} f(x) dx + \int_{a_2}^{\infty} f(x) dx =  \frac{1}{2} \\
\Rightarrow &\int_{a_1}^{a_2} f(x) dx + \frac{1}{2} =  \frac{1}{2} \\
\Rightarrow &\int_{a_1}^{a_2} f(x) dx = 0
\end{align}

となるが、これは$f(x) > 0$に矛盾する。

よって、ある実数$a, b$が無作為に抽出されたとき、$a \leq b$である確率は50%ではない。（証明終了）

類似問題