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@mod_poppo

C言語で四倍精度浮動小数点数 (binary128) を使う

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C言語で精度113ビットの四倍精度浮動小数点型を使う話をします。

  • 浮動小数点数の規格（IEEE 754）
  • プログラミング言語の規格（C言語）
  • 実際の言語処理系（GCC, Clang）
  • アーキテクチャーごとのABIとハードウェア実装

のレイヤーからそれぞれ解説します。

IEEE 754のbinary128

IEEE 754-2008以降でbinary128が規定されています。パラメーターは$b=2$, $p=113$, 指数部の最大値$\mathit{emax}=16383$です。

「四倍精度 (quad precision)」という用語はIEEEの規格書には出てきませんが、この記事では「四倍精度」をbinary128と同じ意味で使うことにします。

表現可能な範囲や精度に関していくつか値を挙げてみると、

  • 最小の正の非正規化数は 0x1p-16494 = 6.475...e-4966、
  • 最小の正の正規化数は 0x1p-16382 = 3.3621...e-4932、
  • 有限の最大値は 0x1.ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffffp16383 = 1.1897...e4932
  • 1の次に大きな数は 1 + 0x1p-112 = 1.0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0192 59...

となります。

十進でいうと三十数桁程度の精度を持っている、ということになるでしょうか（倍精度では十進で十数桁でした）。$\log_{10}(2^{113})=34.0...$, $\log_{10}(2^{53})=15.95...$ です。

long double

いくつかの環境では long double がbinary128です。具体的には、AArch64 Linux, RISC-V Linux等です。

詳しくは

を参照してください。

C言語的な話：TS 18661-3

現行のC標準（C11/C17）が参照している浮動小数点数の規格はIEEE 754-1985（相当）であり、当然binary128のサポートはありません。

ですが、2015年に出たTechnical SpecificationのTS 18661-3で、IEEE 754-2008で規定された追加の二進浮動小数点型が規定されています。

追加の二進浮動小数点数型というのは、

_Float16
_Float32
_Float64
_Float128

というようなやつです。これらは基本的に必須ではありませんが、__STDC_IEC_60559_BFP__ と __STDC_IEC_60559_TYPES__ を定義する実装は _Float32 と _Float64 を提供しなければなりません。この他、 _Float64x みたいな末尾に x がつくやつも規定されていますが、本題から逸れるのでここでは解説しません。

この記事の主題は _Float128 なわけですが、ちょっとだけ寄り道をしておくと精度が低い方の _Float16 はARMのC拡張(ACLE)で言及されたりしています。

_FloatN 型と既存の float, double, long double とは、たとえ同じ浮動小数点形式であっても型としては異なります。つまり、 float 型がIEEE binary32である環境であっても float と _Float32 は異なる型ですし、 double 型がIEEE binary64である環境であっても double と _Float64 は異なる型です。また、long double がIEEE binary128であっても long double と _Float128 は異なる型です。

リテラルのサフィックスは fN です。例えば 1.0f128 という感じです。

_FloatN 用の標準ライブラリーの関数は __STDC_WANT_IEC_60559_TYPES_EXT__ を事前に定義した上で <math.h> 等を #include すると使えるようになります。数学関数の float 版のサフィックスが f、long double 版のサフィックスが l だったのと同じノリで、_Float128 版の関数には f128 というサフィックスがつきます。

_Float128 sqrtf128(_Float128 x);
_Float128 expf128(_Float128 x);

という感じです。

次期C標準であるC23にはTS 18661-3の内容はAnnexとして取り込まれる模様…ですかね？

ただ、「標準ライブラリーに短い名前の関数が増殖しすぎでは」という意見もあります。

この辺に関しては、今後の動向を見守っていく必要がありそうです。

コード例：

#define __STDC_WANT_IEC_60559_TYPES_EXT__
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>

_Float128 f128_add(_Float128 x, _Float128 y)
{
    return x + y;
}

int main(void)
{
    _Float128 x = 1.0f128;
    _Float128 y = 0x1p-113f128;
    _Float128 sqrt2 = sqrtf128(2.0f128);
    char buf[1024];
    strfromf128(buf, sizeof(buf), "%a", f128_add(x, y));
    printf("1.0f128 + 0x1p-113f128 = %s\n", buf);
    strfromf128(buf, sizeof(buf), "%a", f128_add(x, y + y));
    printf("1.0f128 + (0x1p-113f128 + 0x1p-113f128) = %s\n", buf);
    strfromf128(buf, sizeof(buf), "%a", sqrt2);
    printf("sqrtf128(2.0f128) = %s\n", buf);
    strfromf128(buf, sizeof(buf), "%.40g", sqrt2);
    printf("sqrtf128(2.0f128) = %s\n", buf);
}

実行結果（例）：

1.0f128 + 0x1p-113f128 = 0x1p+0
1.0f128 + (0x1p-113f128 + 0x1p-113f128) = 0x1.0000000000000000000000000001p+0
sqrtf128(2.0f128) = 0x1.6a09e667f3bcc908b2fb1366ea95p+0
sqrtf128(2.0f128) = 1.414213562373095048801688724209697984347

GCCのサポート

最近のGCCは四倍精度浮動小数点数をサポートしています。

ただし、一口に四倍精度と言っても「TS18661-3に則った _Float128 型」と「GCC独自の __float128 型」の2系統があり、さらに「long double がbinary128な環境での long double」も含めれば3系統があります。

long double がbinary128な環境では __float128 は long double のエイリアス、そうでない環境では __float128 は _Float128 のエイリアスです。

_Float128 の方が __float128 よりも使える環境が幅広いです。例えばAArch64上のLinuxでは _Float128 は使えますが __float128 は使えません。

__float128 のリテラルのサフィックスは q です。

詳しくは

を参照してください。

_Float128 や __float128 に対する四則演算（のソフトウェアエミュレーション）はGCC付属のランタイムライブラリー (libgcc) で提供されますが、他の数学関数（sqrt 等）は別のライブラリーで提供されます。TS18661-3準拠の関数（sqrtf128 等）を提供するのはlibcの責任で、実際にglibcはそれらを実装しています。一方、GCC独自の __float128 に対する数学関数や入出力関数はlibquadmathで提供されています：

libquadmathの提供する関数のサフィックスは q です。

libcがTS18661-3に対応していない環境（実質、Linux以外）で四倍精度浮動小数点数の数学関数を使いたければ、libquadmathを使うことになるでしょう。まあlibquadmathは __float128 を必要とするので __float128 が使えない環境では使えないのですが……。

Clangのサポート

long double がbinary128なターゲット（aarch64-linux-gnu, riscv64-linux-gnu 等）ではきちんと long double が四倍精度となっています。

TS18661-3の _Float128 には対応していません。

一部のターゲットでは __float128 に対応しているようですが、libquadmathは付属しません。

Intel C++ Compilerのサポート

特定のオプションを指定することで _Quad が使えるようになるらしい？ですが、筆者はICCを使える環境にないのでそれ以上はなんとも言えません。悪しからず。

アーキテクチャーごとの話

Power ISA

Power ISA 3.0で四倍精度の演算が規定され、POWER9が実装しているようです。

ただ、GCCでコンパイルしてもデフォルトでは四倍精度の命令は使用されません。GCCでは -mcpu=power9 という風にCPUの名前を指定するとそれっぽい命令を使うようになるようです。

RISC-V

RISC-Vは単精度に対応するF拡張、倍精度に対応するD拡張の自然な延長で、四倍精度に対応するQ拡張を定義しています。まあオプションなので実際に搭載したハードウェアが出てくるのかって話ですが。
FPGAを使って自分で用意する方が手っ取り早いかもしれません。

ABI的な話をすると、関数呼び出しの際に四倍精度浮動小数点数の受け渡しに浮動小数点レジスターを使うかという問題があります。Q拡張を実装するハードウェアでは浮動小数点レジスターの幅が128ビットなのでレジスターで四倍精度を受け渡しできますが、D拡張までしか実装しないハードウェアでは浮動小数点レジスターの幅は64ビット止まりなので四倍精度の受け渡しができません。

ということは、RV64GQ向けのバイナリーを吐く際に関数呼び出しで四倍精度に浮動小数点レジスターを使うようなABI (LP64Q) を採用してしまうと、RV64G向けのバイナリー (LP64D) とのABI互換性が取れなくなってしまいます。

そういうわけで、

ではRV64GQ向けであってもABIとしてLP64Dを採用するように「強く推奨 (strongly recommended)」しています。

なお、現在のGCC（riscv64-linux-gnu-gcc-10 (Ubuntu 10.2.0-5ubuntu1~20.04) 10.2.0 で確認）では -march=rv64gq でQ拡張を有効にしても四倍精度用の命令は使用されません。

SPARC

SPARC v8は四倍精度用の命令セットを持っているようです。ハードウェア実装されているかはともかくとして……。

x86とかAArch64とか

上にあげたもの以外の今日のアーキテクチャーで四倍精度用の命令を用意しているものは、筆者の知る限りありません。ただ、ABIによっては、binary128の呼出規約（受け渡し方法）を定めているものがあります。

x86_64用のSystem V ABIではbinary128の値はxmmレジスターを使って受け渡すことになっています。
一方、WindowsのABIにはそういう規定はなさそうで、他の128ビット値と同じようにポインターを経由して受け渡されるようです。

AArch64も浮動小数点レジスターが128ビットあるのでbinary128をそのまま受け渡せます。

おまけ：C++

現在のGCCの実装では、C++では _Float128 は使えず、 __float128 か long double を使うしかなさそうです。

Boost.MultiprecisionがGCCの __float128 型とICCの _Quad 型をラップしたやつを提供しているようです。

比較表

long double と _Float128 と __float128 のざっくりとした比較表を載せておきます。

long double _Float128 __float128
標準？ Yes TS18661-3 GCC拡張
実体 環境依存 binary128 binary128
リテラルのサフィックス l f128 q
数学関数のサフィックス l f128 q
数学関数の提供元 libc / <math.h> libc / <math.h> with WANT libquadmath / <quadmath.h>

また、筆者の独断と偏見で選んだ環境についての long double, _Float128, __float128 の状況を挙げると

  • x86_64 Linux/glibc: long double は80ビット、 _Float128, __float128 が利用可能。glibcは_Float128に対応、libquadmathも使える。
  • x86_64 mingw-w64: long double は80ビット、 __float128 が利用可能。_Float128 型は使えるが標準ライブラリーのサポートはない。
  • x86_64 macOS: long double は80ビット、 _Float128, __float128 が利用可能。libcは _Float128 に非対応、数学関数にはlibquadmathも使える。
  • AArch64 Linux/glibc: long double は四倍精度、_Float128 が利用可能だが __float128 は利用不可。libquadmathもない。
  • PowerPC Linux/glibc: -mlong-double-128 -mabi=ieeelongdouble を指定すると long double が四倍精度になる。_Float128 と __float128 の両方に対応。
  • RISC-V 64 Linux/glibc: long double は四倍精度、 _Float128 が利用可能だが __float128 は利用不可。libquadmathもない。
long double _Float128 __float128
x86_64 Linux 80ビット OK OK
x86_64 mingw-w64 80ビット libcのサポートなし OK
x86_64 macOS 80ビット libcのサポートなし OK
AArch64 Linux OK (binary128) OK 非対応
PPC64 Linux -mabi の指定による OK OK
RISC-V 64 Linux OK (binary128) OK 非対応

となります。

まとめ

GCCを使えば多くの環境で四倍精度浮動小数点数を使えます。しかし、環境によって使える書き方・ライブラリーが違うので、なるべく多くの環境で動作するようなポータブルなコードを書くのは難しそうです。

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