はじめに
以下の記事で述べた通り、多次元の分布関数の連続点は稠密です。
一方で「多次元の分布関数の不連続点は高々可算」ではない場合があります。
これは一次元の場合と決定的に異なる点ですがあまり強調して述べられることがありません。
そこでこの記事では、多次元の分布関数で不連続点が高々可算でない例を紹介します。
準備
まず、以下の補題を証明しましょう。これはFubiniの定理の証明（の前段階）で使われたりします。
補題1
$2$ 次元の Borel 集合 $E \in \mathscr{B}_{\mathbb{R^2}}$ と $y \in \mathbb{R}$ に対して、
$$
E^y := \{x \in \mathbb{R} \mid (x, y) \in E \}
$$
と定めると、$E^y \in \mathscr{B}_{\mathbb{R}}$ となる。
証明
以下のように置きます。
$$
\mathscr{F} = \{ F \in \mathscr{B}_{\mathbb{R^2}} \mid \forall y \in \mathbb{R},~ F^y \in \mathscr{B}_{\mathbb{R}} \}
$$
すると、$\mathscr{F}$ は $\mathbb{R}^2$ 上の $\sigma$-加法族となります。実際、$\emptyset^y = \emptyset$ より $\emptyset \in \mathscr{F}$ です。また、$(F^c)^y = (F^y)^c$ より $\mathscr{F}$ の元の補集合はまた $\mathscr{F}$ に属します。さらに、$\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathscr{F}$ に対して、
$$
(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n)^y =\bigcup_{n \in \mathbb{N}} (E_n)^y \in \mathscr{B}_{\mathbb{R}}
$$
となります。そして、$ A, B \in \mathscr{B}_{\mathbb{R}}$ とするとき、$F = A \times B$ とおくと、$F \in \mathscr{F}$ となります。なぜなら $y \in B$ ならば $F^y = A \in \mathscr{B}_{\mathbb{R}}$ となり、$y \notin B$ ならば $F^y = \emptyset \in \mathscr{B}_{\mathbb{R}}$ となるからです。よって、
$$
\{ A \times B \mid A, B \in \mathscr{B}_{\mathbb{R}} \} \subset \mathscr{F}
$$
となり、$\mathscr{B}_{\mathbb{R^2}}$ は左辺を含む最小の$\sigma$-加法族であるため $\mathscr{B}_{\mathbb{R^2}} \subset \mathscr{F}$ がわかります。
反例の紹介
$a \in \mathbb{R}, A \in \mathscr{B}_{\mathbb{R}}$ に対して、以下のようにおきます。
$$
\mu_a (A):=
\begin{cases}
1 & (a \in A) \\
0 & (a \notin A)
\end{cases}
$$
すると、$\mu_a$ は $\mathbb{R}$ 上の確率測度となります。次に、$a,b \in \mathbb{R}, E \in \mathscr{B}_{\mathbb{R^2}}$ に対して
$$
\mu_{a,b}(E) := \mu_a(E^b)
$$
と定めます。すると、$E \cap F = \emptyset$ ならば $E^b \cap F^b = \emptyset$ となることから $\mu_{a,b}$ は $\mathbb{R}^2$ 上の確率測度となることがわかります。
さて、$\mu_{a,b}$ の分布関数 $F(x,y) = \mu_{a,b}((-\infty, x] \times (-\infty, y))$ は
$$
E = \{ (a, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq b \}
$$
の上の点で不連続です。実際、$y \geq b$ とするとき、任意の $\varepsilon > 0$ について、
$$
\begin{align}
&F(a-\varepsilon, y) = \mu_{a} ((-\infty, a-\varepsilon]) = 0, \\
&F(a, y) = \mu_{a} ((-\infty, a]) = 1, \\
&F(a+\varepsilon, y) = \mu_{a} ((-\infty, a+\varepsilon]) = 1,
\end{align}
$$
となり、これは $(a, y)$ で $F$ が不連続であることを意味します。$E$ は連続濃度であり、これで反例が構築できました。