【jQuery UI Datepicker】日付プルダウンとカレンダーアイコンを連動させる

#経緯
jQueryのDatepickerをいじって、ふと思った。
「テキストボックス+アイコン」はあるけど「プルダウン+アイコン」がない。
ググってもなかったんだ。
あったら教えてください。ごめんなさいします。

#コード
yyyy/mm/ddフォーマットで当日から3か月分の表示を想定

index.html

<select id="ymd_pulldown" size="1"></select>
<input type="hidden" id="datepicker">

<!-- JSさんたち -->
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.9.1/jquery.min.js"></script>
<script type="text/javascript" src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jqueryui/1/jquery-ui.min.js"></script>
<script type="text/javascript" src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jqueryui/1/i18n/jquery.ui.datepicker-ja.min.js"></script>
<script src="/script.js" defer></script>

script.js

$(document).ready(function(){
  setDayPulldown();
  
  function setDayPulldown(){
    let current = new Date();
    let date
    let year_val = current.getFullYear();
    let month_val = current.getMonth() + 1;
    let day_val = current.getDate();
    current.setDate(current.getDate() + 1);

    for (let i = 0; i < 90; i++) {
      date = new Date(year_val, month_val - 1, day_val + i);
      $('#ymd_pulldown').append('<option value="' + getDayStr(date) + '">' + getDayStr(date) + '</option>');
    }
    $('#ymd_pulldown').append('</select>');
  }

  function getDayStr(date){
    let yy = date.getFullYear();
    let mm = ("0" + (date.getMonth() + 1)).slice(-2);
    let dd = ("0" + date.getDate()).slice(-2);
    return yy + '/' + mm + '/' + dd;
  }
  
  $( "#datepicker" ).datepicker({
    showOn: "button",
    buttonImage: "[画像のパス]",
    buttonImageOnly: true,
    buttonText: "Select date",
    minDate: "d",
    maxDate: "+3m",
    altField:"#ymd_pulldown",
    dateFormat: "yy/mm/dd"
  });

  // プルダウンで選択時、カレンダーにも値を連動
  $('#ymd_pulldown').change(function() {
    $('#datepicker').val($('#ymd_pulldown').val());
  });
});

#結果
こんな感じ