Jasmine Tea で二次方程式の解を求めてみる #jasminetea

これは Jasmine Tea アドベントカレンダー 2023 の 12 日目の記事です。

こんにちは、Jasmine Tea の開発に参加している石川です。この記事では、二次方程式の実数解¹を求める関数を作ってみます。Jasmine Tea の関数については 11 日目の記事を参照してください。

二次方程式 $ a x^2 + b x + c = 0 \quad (a \neq 0) $ の解は以下のように求まります。(現在の学習指導要領では中学校３年で習うことになっていると思います。)

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a}
$$

これを Jasmine Tea に計算させてみましょう。この記事では、$a$ と $b$ と $c$ の３つの値を与えると解を返す関数を作ることで実現します。

解の求め方の概要

まず、$ a x^2 + b x + c = 0 $ が二次方程式であるためには $a \neq 0$ の条件が重要です。そのため、関数の最初では $a = 0$ の場合にエラーを出力するようにしましょう。

次に、二次方程式解の数は、 $b^2 - 4ac$ の値によって変わります。

$b^2 - 4ac < 0$ の場合: 解なし
$b^2 - 4ac = 0$ の場合: 解は 1 つ
$b^2 - 4ac > 0$ の場合: 解は 2 つ

このように、解が 0, 1, 2 つのケースが有るため、関数の戻り値は配列を使うとよさそうです。

この考察をもとに、プログラムを書いてみましょう。今回は次のステップで書いてみますが、これはあくまでも例です。実装をする順番は自由なので、ステップを入れ替えても問題ありません。

関数の骨組みを作る
条件分岐を作る
返す値を作る
エラー処理を作る

1. 関数の骨組みを作る

関数の骨組みは function と end function で作ります。このとき、次の 3 つの要素を決める必要があります。

関数の名前
与える値 (引数)
返す値 (戻り値) の種類

ここでは、関数の名前は solve_quadratic とします。与える値は a, b, c の数値 3 つで、返す値の種類は配列にします。そうすると、関数の骨組みは以下のようになります。

function solve_quadratic@(a, b, c)
end function

2. 条件分岐を作る

二次方程式では、 $b^2 - 4ac$ の値によって解の個数が変わります。プログラムでこれを表現するには、条件分岐 if を使うとよさそうです。まずは $b^2 - 4ac$ を計算しましょう。計算結果は pm_term_squared (プラスマイナス項の 2 乗) という変数に代入してみます。$b$ の 2 乗 ($b^2$) を計算するには、pow 関数が使えます。

function solve_quadratic@(a, b, c)
  pm_term_squared = pow(b, 2) - 4 * a * c
end function

あとは、「pm_term_squared が 0 より小さい」、「0 と等しい」、「0 より大きい」の 3 つの条件で分岐すればよさそうです。プログラムにすると以下のようになります。

function solve_quadratic@(a, b, c)
  pm_term_squared = pow(b, 2) - 4 * a * c
  if pm_term_squared < 0 then
    
  else if pm_term_squared = 0 then
    
  else
    
  end if
end function

最後の「0 より大きい」の部分では else if と書かなくとも、else で十分です。

3. 返す値を作る

繰り返しになりますが、二次方程式解の数は、 $b^2 - 4ac$ の値によって変わります。この解を配列として返すには、以下のようにすればよさそうです。

$b^2 - 4ac < 0$ の場合: 空配列 [] を返す
$b^2 - 4ac = 0$ の場合: $-\frac{b}{2a}$ を要素に持つ配列を返す
$b^2 - 4ac > 0$ の場合: $\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ と $\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を要素に持つ配列を返す

これをプログラムにしてみましょう。なお、正の平方根は sqr 関数を使うことで計算することができます。

function solve_quadratic@(a, b, c)
  pm_term_squared = pow(b, 2) - 4 * a * c
  if pm_term_squared < 0 then
    return []
  else if pm_term_squared = 0 then
    return [-b / 2 * a]
  else
    pm_term = sqr(pm_term_squared)
    return [(-b - pm_term) / 2 * a, (-b + pm_term) / 2 * a]
  end if
end function

4. エラー処理を作る

先程のコードでほぼ完成なのですが、まだ $a \neq 0$ の条件を取り扱っていません。$a = 0$ の場合は二次方程式ではなくなるため、エラーとして処理しましょう。今回は、説明を print で出力し、stop で実行を中断するという動作にしてみます。

function solve_quadratic@(a, b, c)
  if a = 0 then
    print "aの値は0以外を指定してください"
    stop
  end if
  
  pm_term_squared = pow(b, 2) - 4 * a * c
  if pm_term_squared < 0 then
    return []
  else if pm_term_squared = 0 then
    return [-b / 2 * a]
  else
    pm_term = sqr(pm_term_squared)
    return [(-b - pm_term) / 2 * a, (-b + pm_term) / 2 * a]
  end if
end function

使ってみる

この関数 solve_quadratic@(a, b, c) を使って、２次方程式の解を求めてみます。

例えば print solve_quadratic@(1, 2, 1) を実行すると、[-1] が実行画面に出力されるはずです。

ここで作成したプログラムはここで利用できますので、参考にしてみてください。

以降、実数解を単に「解」と言います ↩