CupertinoDatePickerの日時を操作する手段は、ない

こちらのissueにも上がっているように、CupertinoDatePickerの値（日時）を外から操作して設定する手段は提供されていません。
https://github.com/flutter/flutter/issues/42869

よくあるUIだと、乗換検索アプリの出発時刻設定画面で、「現在時刻に設定する」などがあると思います。
無理矢理対応するやり方だとすると、以下のようにwidgetの再構築を促す方法があります。設定する値は、initialDateで設定します。

CupertinoDatePicker(
  // keyを指定することでwidgetが再利用されないようにして、再構築されるようにする
  key: UniqueKey(),
  // 更新したい値
  initialDateTime: date,
  ...
)

`CupertinoDatePicker`をベースにTimePickerを作る

完成したものはこちらです。

CupertinoDatePickerをベースに、必要最低限の機能を切り出しています。
今回は単純にするため、AM/PMの表示設定や、日付の設定、l10nなどは全て排除しています。
また、個人的な好みで時と分の間にコロン【：】を配置しています。

外から時刻を設定するための手段は、後述のTimePickerController経由で操作できるようにしています。

実装方法

Widget本体

中で出てくるマジックナンバーは、ほとんどが大元のCupertinoDatePickerから拝借してきたものです。必要に応じて変更してください。

time_picker.dart

// 時・分の表示カラムの幅です
const double _kColumnWidths = 48.0;

class TimePicker extends StatefulWidget {
  // 後述の[TimePickerController]が必須パラメータです。[TimePickerController]経由で日時の操作・取得を行います。
  const TimePicker({Key key, @required this.controller}) : super(key: key);

  final TimePickerController controller;

  @override
  _TimePickerState createState() => _TimePickerState();
}

class _TimePickerState extends State<TimePicker> {
  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return Row(
      mainAxisSize: MainAxisSize.min,
      children: [
        _buildHourPicker(),
        // 時、分の間のコロンです。私の好みで追加しました。
        _buildSeparator(),
        _buildMinutePicker(),
      ],
    );
  }

  /// 「時」選択Picker
  Widget _buildHourPicker() {
    return _buildPicker(24, widget.controller._hourController);
  }

  /// 「分」選択Picker
  Widget _buildMinutePicker() {
    return _buildPicker(60, widget.controller._minuteController);
  }

  /// Picker生成
  /// [size]の分のPickerを作ります。操作できるように[FixedExtentScrollController]を渡してください
  Widget _buildPicker(int size, FixedExtentScrollController controller) {
    return SizedBox(
      width: _kColumnWidths,
      // 数値は[CupertinoDatePicker]を参考にしています
      child: CupertinoPicker(
        backgroundColor: Colors.white,
        scrollController: controller,
        offAxisFraction: 0.45,
        itemExtent: 32,
        useMagnifier: true,
        magnification: 2.35 / 2.1,
        squeeze: 1.25,
        looping: true,
        onSelectedItemChanged: (_) {},
        children: List.generate(size, (int index) {
          return Center(
            child: Padding(
              padding: const EdgeInsets.symmetric(horizontal: 8),
              child: SizedBox(
                  width: _kColumnWidths, child: _buildLabel(context, index)),
            ),
          );
        }),
      ),
    );
  }

  /// Pickerの選択肢となるテキストラベルを生成します
  Widget _buildLabel(BuildContext context, int number) {
    return Text(
      number.toString().padLeft(2, '0'),
      style: CupertinoTheme.of(context).textTheme.dateTimePickerTextStyle,
    );
  }

  Widget _buildSeparator() {
    return const Text(' : ',
        style: TextStyle(fontSize: 20.0, fontWeight: FontWeight.w500));
  }

  @override
  void dispose() {
    widget.controller._dispose();
    super.dispose();
  }
}

CupertinoPickerがPicker単体で、CupertinoDatePickerはCupertinoPickerを複数組み合わせたものになっています。なので、今回はCupertinoPickerを二つだけ持てば良いため、かなりシンプルになります。

CupertinoDatePickerのコードを見るととても複雑に見えてしまいますが、それはAM/PMの表示切替や日付の表示有無など、条件分岐が多くなってしまっているためです。なので、用途・機能を限定すれば、レイアウトの組み方自体は難しくありません。

また、CupertinoPickerの操作自体は、実はFixedExtentScrollControllerで元々可能になっています。
CupertinoDatePickerで操作できないのは、このFixedExtentScrollControllerが内部で自動生成され、隠蔽化されているためです。
なので、この自作Widgetの本質は【FixedExtentScrollControllerを外からどう操作できるようにするのか】という点となります。

操作用Controkker

上述のFixedExtentScrollControllerはここでも内部で自動生成し、意識はさせないようにしていますが、このFixedExtentScrollControllerへのアクセサとしてsetTimeを用意しました。これで自由に時刻を操作することが可能になります。