Doing Math with Python に出てくる数式

Tags:Python,Math,SciPy,NumPy
Python で始める数学入門を読み始めたので、その備忘録。
とMathJaxで数式を書く練習。

数学の英語

数学と英語どちらも素人。勉強中。
この数学の語彙集
にお世話になりそう。
それと$ \LaTeX $と MathJaxを参考に。　　

Cahpter 1 Working with Numbers

Converting Unit

華氏 -> 摂氏
$ C = (F - 32) \times \frac{5}{9} $
摂氏 -> 華氏
$ F = ( C \times \frac{9}{5}) + 32 $

• C Celsius (摂氏　℃)
• F Fahrenheit (華氏　℉)

Quadratic Equation ~ ２次方程式 ~

懐かしい

$ y = ax^2 + bx + c $

解　$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

Cahpter 2 Visualizing Data with Graphs

Newton's law of universal Gravitation ~ 万有引力の法則 ~

$ F= \frac{Gm_1m_2}{r^2} $

• F force
• G 重力定数 : $ 6.674 \times 10^{-11}Nm^2kg$
• m1 m2 2つの物体の質量
• r 2つの物体間の距離

Projectile Motion ~ 斜方投射 ~ (wiki)

image from http://formulas.tutorvista.com/physics/projectile-motion-formula.html

• $x$ 軸方向は速度一定(constant)なので
  $v_{x} = u \cos\theta$

• $y$ 軸方向は時間($t$)と共に重力に引っ張られるため
  $v_{y} = u \sin\theta - gt $

• よって時間経過に伴う移動距離($S$)は次の通り

  • $S{x} = u (\cos\theta)t$
  • $S{y} = u (\sin\theta)t - \frac{1}{2}gt^2$

• さらに重要な点として、発射から着地までの時間を求める。
  $y$軸について、速度が0になるところ（放物線の山のてっぺん）が、移動時間の半分と見なせる。

  • 速度が0になるということは
    • $v_{y} = 0$
    • $u\sin\theta - gt = 0$
    • $t_{peak} = \frac{u\sin\theta}{g}$
  • 2倍すると移動時間全体
    • $t_{total} = 2\frac{u\sin\theta}{g}$

Cahpter 3 Discribing Data with Statistics

Basic Statistics - variance and standard deviation

$ variance= \frac{\sum(x_i - x_m)^2}{n} $
$v_{y} = u\sin\theta - gt $

• $\sum(x_i - x_m)^2$ : 各値から平均値を引いたものの二乗を合計 ($x_m$が平均値になる)
• それを$n$値の個数で割る

$ standard\hspace{3pt}deviation = \sqrt{variance} $

Correlation Coefficience 相関係数

$ Correlation = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\bigl(n\sum x^2 - (\sum x)^2\bigl)\bigl(n\sum y^2 - (\sum y)^2 \bigl)}}$

• $\sum xy$ : Sum of the products of the indivisual elements of the two sets of numbers, $x$ and $y$
• $\sum x$ : Sum of the numbers in set $x$
• $\sum y$ : Sum of the numbers in set $y$
• $(\sum x)^2$ : Square of the sum of the numbers in set $x$
• $(\sum y)^2$ : Square of the sum of the numbers in set $y$
• $\sum x^2$ : Sum of the squares of the numbers in set $x$
• $\sum y^2$ : Sum of the squares of the numbers in set $y$

Chapter 4 Algebra and Symbolic Math with Sympy

この章に出てくるSymPyはかなり面白いので別途まとめます。

級数 (wiki)

$ x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{x^n}{n}$

この例は収束(Convergent) (発散はDivergent)するようで、
例えば $ n = 5 $ で $ x = 1.2 $ と代入 (Substitute)すると、
$ \small{3.51206400000000}\ $になる。
これが Sympy使うとプログラムで解けるから不思議。

equation of motion

$ s = ut + \frac{1}{2}at^2 $
$a$ constant acceleration
$u$ initial velocity

• $t$ time

tについて解くと・・・
$ t = \frac{-u + \sqrt{2.0as + u^2}}{a} $
$ t = \frac{-(u + \sqrt{2.0as + u^2})}{a} $

Chapter 5 Playing with Sets and Productivity

Cartesian Product (直積集合)

2つの集合 $A B$ に対して

$ A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A \land b \in B \}$

Simple Pendulum (振り子運動)

$ T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g}} $

$ T = $ pendulum period
the amount of time it takes for the pendulum to complete one full swing

$ g = $ gravitational acceleration ($ 9.8 m/s^2 $)

• $ L = $ Length of the pendulum

A=\left(
\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4 
\end{matrix}
\right)