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@mikecat_mixc

整数に整数を掛けて整数を伝える方法を考えた

Last updated at Posted at 2022-01-05

問題

Twitterで以下の問題を発見しました。

そこで、この問題の条件で、AさんがBさんにYを伝える方法を考えてみました。

他の皆さんの方法

効率が悪い方法

皆さんの答案を見ると、素因数分解をしたり、Y乗したり、
Y桁の数やY番目の〇〇を用いたりといった方法が多くみられました。

素因数分解は今のところ難しい処理であり、十進数で300桁程度の数でも分解できないことがあります。
また、Y乗やY桁の数やY番目の〇〇は、十進数で30桁程度のYでも現代の計算機では扱いきれないほど大きく、または遠くなるでしょう。

間違った方法

Yが平方数のときにどうするかが書かれていない上、Yが平方数でなくてもうまくいかない場合があります。

平方数（へいほうすう、square number）とは、一般的には整数の自乗（二乗）で表される非負整数のことである。ただし広義の意味では有理数の二乗であれば平方数という。

平方数 - Wikipedia

例えば $X = 1, Y = 18$ とすると、$Y = {(\pm 3 \sqrt{2})}^2$であり、$\sqrt{2}$が有理数でないことは有名な証明があります。
よって、$Y$は平方数ではありません。

$X \times XY = 18$ であり、平方数 $9 = 3^2$ で割った商は$2$、余りは$0$です。
よって、「残り」の定義がよくわかりませんが、
「できるだけ大きい平方数で割った残り」は$Y = 18$にはならないと考えられます。

未解析

できるのかよくわかりませんが、実現すれば自分の方法より効率がよくなるかもしれません。

自分の方法

  1. $Y$を3進数で表します。この時の桁数を$k$、下から$i$番目の桁を$Y_i$とします。
  2. $i$番目に小さい素数を$p_i$とし、$f(n, i)$を${p_i}^m$が$n$を割り切る最大の整数$m$とします。
  3. 以下の条件を満たす整数$\alpha$を求めます。
    • $i = 1, \ldots , k$ について、$f(\alpha X, i) \mod 4 = Y_i$
    • $f(\alpha X, k + 1) \mod 4 = 3$
  4. $\alpha X$ をBさんに渡します。

小さい素数をそれそれ高々3回掛けるので、掛けた結果が無駄に大きくなりすぎるのを避けられます。
さらに、$Y$を表す情報の次に$3$を置くことで終端を表し、無駄に大きい素因数を求めなくていいようにしています。

2進数や4進数などでもいいですが、実験の結果3進数が一番最悪ケースで掛けた結果が小さくなりやすいようでした。
例えば、$Y$が10,000ビットの時、掛ける数$\alpha$の十進数での桁数は以下のようになりました。

10,000ビットのYを伝えるために掛ける数の大きさ

実装

Aさん、Bさんともに、$i$番目に小さい素数をエラトステネスの篩の応用で求めています。
$i$番目に小さい素数がいくつになるかわからないので、素数を求める範囲を少しずつ伸ばしていきます。
$n$までの素数が求まっている時$n^2$までの範囲の素数を求めることができ、
今回の実装で一回に求める範囲はこれより少ないので、この方法で求まります。

Aさん

コマンドライン引数で$X$と$Y$の値をこの順に指定できます。
コマンドライン引数を1個だけ渡した場合、その値を$X$とみなし、標準入力から$Y$の値を読み込みます。
コマンドライン引数なしで起動した場合、標準入力の最初の行を$X$、次の行を$Y$とします。

Bさんに渡す数を標準出力に出力します。

encoder.py
import sys

list_length = 4
primes = [2, 3]

def nth_prime(n):
    global list_length
    global primes
    while len(primes) <= n:
        delta_length = list_length // 32 + 1
        is_prime = [True] * delta_length
        old_list_length = list_length
        list_length += delta_length
        for p in primes:
            for i in range((old_list_length + p - 1) // p * p, list_length, p):
                is_prime[i - old_list_length] = False
        primes += [i + old_list_length for i, v in enumerate(is_prime) if v]
    return primes[n]

X = int(sys.argv[1]) if len(sys.argv) > 1 else int(sys.stdin.readline().rstrip())
Y = int(sys.argv[2]) if len(sys.argv) > 2 else int(sys.stdin.readline().rstrip())

radix = 3

x_work = X
y_work = Y
alpha = 1
pos = 0
while y_work > 0:
    p = nth_prime(pos)
    d = y_work % radix
    y_work //= radix
    count = 0
    while x_work % p == 0:
        x_work //= p
        count += 1
    while count % (radix + 1) != d:
        alpha *= p
        count += 1
    pos += 1

p = nth_prime(pos)
count = 0
while x_work % p == 0:
    x_work //= p
    count += w
while count % (radix + 1) != radix:
    alpha *= p
    count += 1

print(alpha * X)

Bさん

コマンドライン引数でAさんから渡される数を指定できます。
コマンドライン引数なしで起動した場合、標準入力からAさんから渡される数を読み込みます。

$Y$の値を標準出力に出力します。

decoder.py
import sys

list_length = 4
primes = [2, 3]

def nth_prime(n):
    global list_length
    global primes
    while len(primes) <= n:
        delta_length = list_length // 32 + 1
        is_prime = [True] * delta_length
        old_list_length = list_length
        list_length += delta_length
        for p in primes:
            for i in range((old_list_length + p - 1) // p * p, list_length, p):
                is_prime[i - old_list_length] = False
        primes += [i + old_list_length for i, v in enumerate(is_prime) if v]
    return primes[n]

value = int(sys.argv[1]) if len(sys.argv) > 1 else int(sys.stdin.readline().rstrip())

radix = 3

value_work = value
Y = 0
pos = 0
delta = 1
while True:
    assert value_work > 1
    p = nth_prime(pos)
    count = 0
    while value_work % p == 0:
        value_work //= p
        count += 1
    d = count % (radix + 1)
    if d == radix:
        break
    Y += delta * d
    delta *= radix
    pos += 1

print(Y)

実行例

まずは小さい数で実験してみました。

$ python encoder.py 1 1
54
$ python decoder.py 54
1
$ python encoder.py 1 18
8575
$ python decoder.py 8575
18
$ python encoder.py 12345 67890
93182011756845
$ python decoder.py 93182011756845
67890

この例では、$X$と$Y$が101桁ずつ、Aさんが渡した数が609桁でした。

$ cat test1_X_Y.txt
27182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274
31415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
$ python encoder.py < test1_X_Y.txt > test1_value.txt
$ cat test1_value.txt
440524372659803146819405941984938020171867562997633539105452801908325982511905932416237199363093844045036847911337275280849134204883445362366308666169921867206004498013971130272411877568469353933662614910785642274891535550542596342208629343244263200114752814059931320786908550424183213557541334348913304519555296839087093492037012393660398695265917021342302473371592188582105722834580253762273205165926166600113001335573274192066612633605321322713858307023641285748403740413001243670119499940327428312578291957034928523148055989931633234495008508072254150723656916209311489517014184639077570106895866732231760
$ python decoder.py < test1_value.txt
31415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

この例では、$X$が1000桁、$Y$が992桁、Aさんが渡した数(長いので省略)が9004桁でした。

$ cat test2_X_Y.txt
6954668118360507330752739341396920203092235510508041194623235642881513961309339238315637160227428695255059064498559797998284837214806798758170197796883984505409610677398157798119242257605063809621260717518675278209192836063197287833717652571550036112693346073873056835479033986998436724982235084279683167009045717706910365116223472439587020870077034198158863121033600778405682296536485521843711552262032556364218605688365664492771770259938165305349083930110833914296144607104190863205957078206496247972609726492116411384911809992457035407807663328296779146692409437681126031404232426891128059631826125769737571727341029165952586884713286643108124336315507866034092911609664654345395196960956274627382763225197667272262064724055693985777277655085904116623014695958812117182609027208753331426917859314280300004442747829793269955092822288531729902402818866765811586749631955697370875033618306472309289517700071853591362648589153021236344845664493768201272166520127137294675819588849704950042971193046875
30089562055206958251751697282330589121651734796611526762974214826487299622782704747820054653285966087690886733929494698327476528939721047810102858323904413144762597012683028221356497198842614635172436015993789691800106149705935189173626083830395582231541313534013114003913403027431605381446963314101244353688421348857780556152699403527425878886940610759108036814764886496341327451022862464119504218638151153029518879173224495380013544892976832743789742946392003064149585790293219452173314484204619295155804692741678537697539732671008294424993085654821379463448271911840100407297289417151478167468810530161338940269449151194958946289480777924744129787573455156971698191516921189059885119404218620508501852055284523146131732179243487634506727861385942871978507911418728889814089795961727739255465311903909028057301077450080162369933919979541254649994994988413441230707713853626091414736462695582172954843711217401795255757269882282708462763719961329042617329659337668423704471604264300596724234
$ time python encoder.py < test2_X_Y.txt > test2_value.txt

real    0m0.127s
user    0m0.015s
sys     0m0.015s
$ time python decoder.py < test2_value.txt
30089562055206958251751697282330589121651734796611526762974214826487299622782704747820054653285966087690886733929494698327476528939721047810102858323904413144762597012683028221356497198842614635172436015993789691800106149705935189173626083830395582231541313534013114003913403027431605381446963314101244353688421348857780556152699403527425878886940610759108036814764886496341327451022862464119504218638151153029518879173224495380013544892976832743789742946392003064149585790293219452173314484204619295155804692741678537697539732671008294424993085654821379463448271911840100407297289417151478167468810530161338940269449151194958946289480777924744129787573455156971698191516921189059885119404218620508501852055284523146131732179243487634506727861385942871978507911418728889814089795961727739255465311903909028057301077450080162369933919979541254649994994988413441230707713853626091414736462695582172954843711217401795255757269882282708462763719961329042617329659337668423704471604264300596724234

real    0m0.181s
user    0m0.015s
sys     0m0.000s
1
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