はじめに
高校の数学で習った円の方程式は覚えてますでしょうか？
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2
こちらが「円の方程式」です！
どんな場合でも「中心の座標(a,b)」と「半径r」の2つが分かれば、円の方程式を使って円を描くことができます。
この記事では以下の3つの方法で、円の方程式とPythonを使って円を描いていきます。
1. 円の中心と円周上の1点を指定する方法
2. 正方形の対角を2点指定する方法
3. 円周上の3点を指定する方法
環境
- Windows 10 home
- Python 3.7.1
matplotlib,numpy,sympyのライブラリを使うので以下のコマンドでそれぞれインストールしておきましょう。
> pip install matplotlib
> pip install numpy
> pip install sympy
1. 円の中心と円周上の1点を指定する方法
1-1. 手順
① : 与えられた2点間の距離を求める。(半径)
- 2点間の距離の求め方は以下の公式になります。
AB = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}
② : 1点目を円の中心、①で求めた値を半径とする円を描画する。
1-2. ソースコード
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# 円周上の1点
x1 = 500
y1 = 300
# 円の中心
a = 200
b = 300
# 1: 与えられた2点間の距離を求める。（半径）
r = np.sqrt((a-x1)**2 + (b-y1)**2)
# 2: 円の方程式
x = np.arange(a-r, a+r+1)
y = np.sqrt(r**2 - (x-a)**2) + b
yy = -y + 2*b
# グラフを描画
plt.plot(x, y)
plt.plot(x, yy)
plt.axis("equal")
plt.grid(color="0.8")
plt.show() # 画面に表示
1-3. 実行結果
このようになれば、成功です。
2. 正方形の対角を2点指定する方法
2-1. 手順
① : 与えられた2点の中点を求める。(円の中心)
- 線分の中点を求める方程式は以下の通りです。
x = \frac{x1 + x2}{2}
\hspace{20pt}
y = \frac{y1 + y2}{2}
② : ①で求めた点と、2点目を通ってy軸と平行な直線との距離を求める。(半径)
③ : ①で求めた点を円の中心、②で求めた値を半径とする円を描画する。
2-2. ソースコード
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# 円周上の2点
x1 = 0
y1 = 400
x2 = 400
y2 = 0
# 1: 与えられた2点の中点を求める。（円の中心）
a = (x2+x1)/2
b = (y2+y1)/2
# 2: 1で求めた点と、2点目を通ってy軸と平行な直線との距離を求める。（半径）
r = x2-a
# 3: 円の方程式
x = np.arange(a-r, a+r+1)
y = np.sqrt(r**2 - (x-a)**2) + b
yy = -y + 2*b
# グラフを描画
plt.plot(x, y)
plt.plot(x, yy)
plt.axis("equal")
plt.grid(color="0.8")
plt.show() # 画面に表示
2-3. 実行結果
このようになれば、成功です。
3. 円周上の3点を指定する方法
3-1. 手順
① : 与えられた3点から、各辺の式を求める。
② : 各辺の垂直二等分線の式を求める。
③ : 垂直二等分線の交点を求める。(円の中心)
④ : ③で求めた点と、与えられた1つの点との距離を求める。(半径)
⑤ : ③で求めた点を円の中心、④で求めた値を半径とする円を描画する。
3-2. ソースコード
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sympy import Symbol, solve
# 円周上の3点
x1 = -100
y1 = 300
x2 = 500
y2 = 300
x3 = 200
y3 = 600
# 1: 与えられた3点から、各辺の式を求める。
aa = Symbol("aa")
bb = Symbol("bb")
ex1 = x1*aa+bb-y1
ex2 = x3*aa+bb-y3
result1 = solve([ex1,ex2],[aa,bb])#x1,y1とx3,y3の2点からなる直線の式
ex1 = x2*aa+bb-y2
result2 = solve([ex1,ex2],[aa,bb])#x2,y2とx3,y3の2点からなる直線の式
# 2: 各辺の垂直二等分線の式を求める。
ex1 = (-1/result1[aa])*((x3+x1)/2)+bb-((y3+y1)/2)
result3 = solve(ex1,bb)#result1の辺の垂直二等分線
ex2 = (-1/result2[aa])*((x3+x2)/2)+bb-((y3+y2)/2)
result4 = solve(ex2,bb)#result2の辺の垂直二等分線
# 3: 垂直二等分線の交点を求める。（円の中心）
ex1 = (-1/result1[aa])*aa+result3[0]-bb
ex2 = (-1/result2[aa])*aa+result4[0]-bb
result5 = solve([ex1,ex2],[aa,bb])
a = round(result5[aa])#円の中心のx座標
b = round(result5[bb])#円の中心のy座標
# 4: 3で求めた点と、与えられた1つの点との距離を求める。（半径）
r = np.sqrt(((a-x1)**2)+((b-y1)**2))#円の半径の計算
# 5: 円の方程式
x = np.arange(a-r, a+r+1)
y = np.sqrt(r**2 - (x-a)**2) + b
yy = -y + 2*b
# 6: グラフを描画
plt.plot(x, y)
plt.plot(x, yy)
plt.axis("equal")
plt.grid(color="0.8")
plt.show() # 画面に表示
3-3. 実行結果
このようになれば、成功です。
終わりに
ここまで読んでいただき、ありがとうございました。
高校数学の記事をあげたのですが、急にどうした!?って感じです。というのも、数学を勉強し直そうと思い、谷尻かおりさんの「Pythonで学び直す高校数学」という本を手に取った次第であります。
今回、取り上げた記事の内容はその本の第3章にある「方程式で図形を描く」という部分の最後のコラムのチャレンジ問題になります。その問題の解答がなかった?ので、自分なりに挑戦してみて、それを記事にしました。参考になったら嬉しいです。