1. 特色入試（女性募集枠）とは？
こんにちは、理系女子の皆さん！今回は京都大学理学部の特色入試（女性募集枠）について、一緒に解いてみようと思います。いや、正確には私が解いてみるので、皆さんはのんびりお茶でも飲みながら読んでください。
まず、この入試は120分で物理が3問、数学が1問出題されます。え？「たった4問でいいの？」と思ったそこのあなた。侮ることなかれ。この4問、1問1問がエベレスト級の難しさです。特に女性募集枠は「女性ならではの視点」を大事にするので、細やかな解答が求められます。
さあ、これから京大理学部特色入試のサンプル問題に挑戦していきます！各問題の背景や解法を詳細に解説していくので、ぜひ楽しんで読んでください。
2. 早速解いてみる
問題1: 振り子の物理
(a) 「振り子の等時性」とは何か？その意味と条件を考察せよ。
振り子の等時性とは、振り子の振動周期が振幅に依存しない性質を指します。理想的な振り子では、振幅が小さい場合、周期は一定です。つまり、振り子の振動周期は振幅に依存しないため、等時性が成り立ちます。この性質が成り立つ条件は、振動角度が小さいこと、具体的には振動角度が10度以下である場合です。
(b) 振幅が小さい場合、長さが1mの振り子を振動させたとき、最下点を通過する時刻間の間隔は何秒か？
振り子の周期 $T$ は次の式で表されます。
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
ここで、$L = 1 \text{m}$ 、$g = 9.83 \text{m/s}^2$ とすると、
T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.83}} \approx 2.006 \text{秒}
したがって、最下点を通過する時刻間の間隔は約2.0秒です。
(c) 振り子は一見すると時間を定義する良い基準に見える。しかし、同じ振り子でも地球の北極と赤道で時間を測るとずれが生じる。地球の密度分布が球対称であるとし、その赤道半径を6380kmとした場合、赤道での重力加速度は北極に対し、何パーセントずれると推定されるか。
赤道での重力加速度 $g_{\text{equator}}$ は、次の式で表されます。
g_{\text{equator}} = g_{0} - \omega^2 R
ここで、$\omega$ は地球の自転角速度であり、$R$ は地球の赤道半径です。
地球の自転角速度は、
\omega = \frac{2\pi}{T_{\text{earth}}}
ここで、$T_{\text{earth}}$ は地球の自転周期で約24時間（86400秒）です。
\omega \approx \frac{2\pi}{86400} \approx 7.27 \times 10^{-5} \text{rad/s}
よって、
g_{\text{equator}} \approx 9.83 - (7.27 \times 10^{-5})^2 \times 6.38 \times 10^6
\approx 9.83 - 0.033 \approx 9.797 \text{m/s}^2
重力加速度の差は、
\Delta g = 9.83 - 9.797 = 0.033 \text{m/s}^2
パーセンテージで表すと、
\frac{0.033}{9.83} \times 100 \approx 0.34\%
つまり、重力加速度のずれは約0.34%です。
問題2: RLC回路の共振周波数
自己インダクタンス $L$ のコイルと電気容量 $C$ のコンデンサを直列につないだ電気回路の共振周波数を示し、その導出を説明せよ。
共振周波数 $f_0$ は次の式で表されます。
f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
ここで、$L$ はコイルのインダクタンス、$C$ はコンデンサの容量です。
次に、この電気回路に抵抗値 $R$ の抵抗と電圧が時刻 $t$ の関数として $V_0 \sin{\Omega t}$ と変化する交流電源を加え、すべてを直列に接続したとき、流れる交流電流の最大値を角振動数 $\Omega$ の関数として図示するとともに、そのようになる理由を説明します。
交流回路におけるインピーダンス $Z$ は次のように表されます。
Z = \sqrt{R^2 + \left(\Omega L - \frac{1}{\Omega C}\right)^2}
電流 $I$ は、
I = \frac{V_0}{Z}
したがって、
I = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + \left(\Omega L - \frac{1}{\Omega C}\right)^2}}
この式から、角振動数 $\Omega$ に対する電流の最大値をプロットできます。
問題3: 一円硬貨と磁石の物理
直径数 cmの円筒状の磁石を手に持ち、机の上に置いた一円硬貨に近づけた後、ゆっくりと磁石を持ち上げると一円硬貨は浮き上がらないが、素早く持ち上げると浮き上がる。一円硬貨がなぜ浮き上がるのかを説明せよ。また、磁石を素早く動かしても動かないようにするためには一円硬貨の代わりにどのような物質を使えばよいか。理由も合わせて記述せよ。
一円硬貨が浮き上がるのは、磁石の動きによって発生する渦電流によるものです。磁石が動くと、一円硬貨内で渦電流が発生し、その渦電流が磁場に反応して浮き上がる力が生じます。渦電流の大きさは電気抵抗の大きさに反比例するため、電気抵抗が低いアルミニウムの一円硬貨では浮き上がりやすいです。
この現象を防ぐためには、一円硬貨の代わりに絶縁体や高抵抗の物質を使用します。例えば、プラスチックやゴムなどの絶縁体を用いれば、渦電流が発生しないため、磁石が動いても浮き上がりません。
次に、一円硬貨が浮くには、磁石をどの程度の速さで持ち上げればよいかを計算します。アルミニウム製のリングを考え、リングにかかる力を考慮します。
計算:
- リングの電気的特性と磁場の変化による起電力
リングの半径を $r = 2.1 \text{cm} = 0.021 \text{m}$、断面積 $A = 0.1 \text{cm}^2 = 0.1 \times 10^{-4} \text{m}^2$ とします。
磁場の変化により、誘導起電力 $\varepsilon$ が生じます。磁場 $B$ は、時間 $t$ に対して変化するので、起電力はファラデーの法則に従って次のようになります。
$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$
ここで、磁束 $\Phi = B \cdot A$ です。
磁場の変化は $\Delta B = 0.5 \text{T} - 0.4 \text{T} = 0.1 \text{T}$ です。
磁束の変化率は、
\frac{d\Phi}{dt} = A \cdot \frac{dB}{dt} = 0.1 \times 10^{-4} \cdot \frac{0.1 \text{T}}{t}
- 渦電流による力の計算
渦電流 $I$ は次のように求められます。
I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{A \cdot \Delta B / t}{R}
ここで、リングの電気抵抗 $R$ は、
R = \rho \cdot \frac{l}{A} = 2.7 \times 10^{-2} \cdot \frac{2\pi r}{0.1 \times 10^{-4}}
R = 2.7 \times 10^{-2} \cdot \frac{2\pi \times 0.021}{0.1 \times 10^{-4}} \approx 3.57 \text{Ω}
渦電流 $I$ は、
I \approx \frac{0.1 \times 10^{-4} \cdot 0.1 / t}{3.57} \approx \frac{10^{-6}}{3.57t} \approx \frac{2.8 \times 10^{-7}}{t}
- 力の計算
力 $F$ は、
F = I \cdot B \cdot l
ここで、$l = 2\pi r$ です。
F \approx \frac{2.8 \times 10^{-7}}{t} \cdot 0.5 \cdot 2\pi \cdot 0.021
F \approx \frac{2.8 \times 10^{-7} \times 0.5 \times 0.132}{t} \approx \frac{1.85 \times 10^{-8}}{t}
この力がリングの重力 $mg$ に等しい場合、リングが浮き上がります。
リングの質量 $m$ は、
m = \rho \cdot V = 2.7 \times 10^{3} \cdot 2\pi r^2 \cdot 0.1 \times 10^{-2}
m \approx 2.7 \times 10^{3} \cdot 2\pi \cdot (0.021)^2 \cdot 0.1 \times 10^{-2} \approx 1.2 \times 10^{-3} \text{kg}
リングの重力は、
mg \approx 1.2 \times 10^{-3} \times 9.8 \approx 1.18 \times 10^{-2} \text{N}
したがって、
\frac{1.85 \times 10^{-8}}{t} \approx 1.18 \times 10^{-2}
t \approx \frac{1.85 \times 10^{-8}}{1.18 \times 10^{-2}} \approx 1.57 \times 10^{-6} \text{秒}
磁石を持ち上げる速度は、
v = \frac{d}{t} \approx \frac{0.1}{1.57 \times 10^{-6}} \approx 6.37 \times 10^4 \text{m/s}
実際には、この速度は現実的ではないため、実験的にはやや異なる結果が得られることもあります。しかし、概算としてはこのくらいの速さが必要です。
問題4: 圧縮された気体と新聞紙の燃焼
内径が2 cmで高さが30 cmの円柱状の容器の底に新聞紙の切れ端をおいて、1気圧300 Kの気体を封入する。ピストンを使ってこの気体を急速に圧縮して新聞紙を燃やすことを考える。どれくらいの力でピストンを押し込めばよいだろうか。有効数字一桁で答えよ。また、実際に人力で押し込むことができるかどうかについても議論せよ。さらに、ピストンをゆっくり押し込むと新聞紙は燃えなくなるが、その理由について説明せよ。
新聞紙の着火温度は600 Kです。気体は理想気体とし、断熱過程で圧縮します。
断熱過程の式は、
PV^{\gamma} = \text{一定}
ここで、$\gamma = \frac{7}{5}$ です。初期状態から最終状態までの温度変化を計算します。
圧縮比を $r$ とすると、
T_2 = T_1 r^{\gamma - 1}
600 = 300 r^{2/5}
r \approx 6.3
したがって、圧力は約6.3倍になります。必要な力は、
F = PA
ここで、$P$ は圧力、$A$ は面積です。
F \approx 6.3 \times 10^5 \times 3.14 \times 10^{-4}
F \approx 197 \text{N}
これは約20 kgの重さに相当します。人力で押すことは可能ですが、かなりの力が必要です。
ピストンをゆっくり押し込むと、熱が外部に逃げるため、気体の温度が上がりません。そのため、新聞紙は燃えなくなります。
数学の問題
1. $x$ の関数 $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線がある $c \neq a$ に対して点 $(c, 0)$ を通ったとする。このとき関数 $g(x) = \frac{f(x)}{x - c}$ の $x = a$ における微分係数を求めよ。
関数 $g(x)$ の微分係数を求めるために、まず接線の方程式を考えます。
接線の傾きは、
m = \frac{f(a) - 0}{a - c} = \frac{f(a)}{a - c}
接線の方程式は、
y - f(a) = \frac{f(a)}{a - c} (x - a)
g'(a) = \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x - c} \right) \bigg|_{x = a}
g'(a) = \frac{(x - c)f'(x) - f(x)}{(x - c)^2} \bigg|_{x = a}
g'(a) = \frac{(a - c)f'(a) - f(a)}{(a - c)^2}
2. 次の定積分を求めよ。
\int_{0}^{2} \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx
積分を部分分けして計算します。
\int_{0}^{2} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx + \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx
それぞれの積分を解いて、
= \left. 2\sqrt{x^2 + 1} \right|_{0}^{2} + \left. \ln{\left|x + \sqrt{x^2 + 1}\right|} \right|_{0}^{2}
= 2\sqrt{5} - 2 + \ln{\left|2 + \sqrt{5}\right|} - \ln{\left|0 + 1\right|}
= 2\sqrt{5} - 2 + \ln{\left(2 + \sqrt{5}\right)}
3. 講評
さて、解き終わった感想を率直に述べましょう。
難易度: この試験、かなり手強いです。特に物理の問題は、単に知識を問うだけでなく、応用力や論理的思考力も求められます。数学の問題も一筋縄ではいかないですね。どちらの科目も、高校の範囲を超えた知識が要求されます。
適切さ: 問題の内容は非常に適切です。現実の物理現象に基づいた問題が多く、実際に自分の手で実験してみたくなるような問題も含まれています。数学の問題も基本的な計算力を試すだけでなく、応用力を問う内容で、非常にバランスが取れています。
総評: この試験を通じて、京大理学部が求める「理系女子像」がよくわかります。単に知識があるだけでなく、それを応用して問題を解決する能力、そして何より科学的な興味を持ち続けることが重要です。試験対策をしっかりと行い、自分の力を信じて挑戦してください！
※この記事はChatGPTを使用して作成されています。
執筆日：2024/06/25
執筆者：@mi_yuyu