この記事は、本の読書メモ・勉強メモです
『測度・確率・ルベーグ積分』原啓介
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- 測度論的確率論に興味がある人
向けの内容です。
測度論、最初は意味わからないですよね〜
測度論のちょうどいい具体例として、確率論がピッタリだと思います。
この本はとてもわかりやすいです。
精読します。
定期的に更新していきます！！
1 確率と測度
確率とは全体の測度が1であるような測度である。
測度の本質はσ-加法性である
σ-加法性（完全加法性）
互いに素な（重なりがない）可算個の集合 $A_1, A_2, A_3, \dots$ に対して、
$$
\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)
$$
が成立すること。
測度とは，長さ，面積，体積のような概念を抽象化したものだが，その本質がこのσ-加法性である．つまり，たかだか可算個の重なりのない図形をあわせた図形の長さ（面積，体積など）は，それぞれの長さなどの和になるべきであり，そして大事なことはそれだけである（可算個であることが重要．非可算の場合は加法性を保証しない）．
標本と事象の違いに注意
標本と事象の違いに注意せよ．ある標本 $ω∈Ω$ に対して，その標本だけからなる集合 ${ ω }$ は，$ { ω }∈F$ ならば事象であり，したがってその確率を考えられるが，標本 $ ω $ 自体は $ Ω $ の元であって部分集合ではないので，$ F $ の元ではありえず，その確率も考えられない．
「ボレル集合族上のルベーグ測度」と「（ルベーグ可測集合上の）ルベーグ測度」の関係
違いは「完備性」である。
ただし、常に、測度空間は完備にできる。
測度空間の完備性
測度空間の零集合の部分集合が常に可測であるとき、この測度空間は完備であるという
「ボレル集合族上のルベーグ測度」は完備ではない。これを完備化したものが、「（ルベーグ可測集合上の）ルベーグ測度」である。
「完備性」は確率論で起こるような測度0の集合に興味をもつ場合に問題となる。
2 積分と期待値
確率変数の気持ち
確率変数によって、一つの確率的な問題が確率空間の上に実現される。
確率空間は確率概念を準備するためにあり、具体的な問題は確率変数によって記述する。
そして、確率変数の気持ちのには２つの立場がある。
確率変数の二つの立場
- Ωを具体的に定め、その上に確率変数を設定する立場
- 任意のΩに対し、確率変数からΩの中身を設定する立場
後者の立場の気持ち
直観的にいえば、標本空間の点を1つ定めることで，確定的な世界が1つ決まる．そして、確率変数を定めることで，その世界の何に注目するかが決まる。たとえば、上で定義したサイコロの目の確率変数は$ ω∈Ω$ 対して、その世界でサイコロの目が何かを答える関数である。こちらの立場では、$ Ω$ は考えようとしている個別の問題とは関係なく、あらゆる確率的な問題の背後にあるランダムネスの源泉としての，あまねくすべての可能性を表現する集合であり、そして確率変数がその標本空間に1つの問題の意味を与える.
3 収束と極限のおさらい
4 道具としての積分論 収束定理とフビニの定理
キーワード
- 各点収束
- 概収束
- 単調収束定理
- ファトゥの補題
- 優収束定理
- 有界収束定理
- フビニの定理
収束定理 極限と積分の交換はいつ可能か
5 ラドン-ニコディムの定理と条件つき期待値
キーワード
- 条件つき期待値
- 条件つき確率
- ベイズの定理
- 絶対連続性
- 符号つき測度
- ラドン-ニコディムの定理
条件つき期待値とその意味
「条件つき」という概念を「情報が与えられた」と解釈する。つまり、σ加法族がモデルの情報を持っていると考える。
σ-加法族の観点から条件つき期待値をみると, 確率変数を情報の「ふるい」にかけて新しい確率変数を作る操作, または, 「ふるい」の目ごとに平均して粗くする操作だと考えられる.
条件つき期待値は、確率変数の積分値が等しいことを使って定義される。この積分値の一意的存在を保証するのが、「ラドン-ニコディムの定理」である。
条件つき期待値は、値ではなく確率変数であることに注意する。
そして、条件つき確率は、条件つき期待値によって定義される。
ある部分集合上での可測関数の積分によって、新しい測度を構成できる。
このとき、逆から考えると、2つの測度の間にどんな関係があれば、上の条件を満たす可測関数が存在するだろうか。ここで、２つの測度の関係からある関数の一意な存在を保証するのが「ラドン-ニコディムの定理」である。