答え

$(document).on('input', function(e) {
  // ① 入力内容全体を取得
  var target = $(this).val(); 

  // ② 半角に変換して上書き
  target = target.replace(/[Ａ-Ｚａ-ｚ０-９]/g,function(s){
    return String.fromCharCode(s.charCodeAt(0)-0xFEE0);
  }); 

  // ③ 変換したものをinputに代入し、カーソルの位置を合わせる
  var selectionStart = $(this).prop("selectionStart");
  var selectionEnd = $(this).prop("selectionEnd");
  $(this)
    .val(target)
    .attr("selectionStart", selectionStart)
    .attr("selectionEnd", selectionEnd);
})

ポイント

eventはどれを使う？

change：inputフォームからカーソルが外れたタイミングで発火

input：文字が一つでも変更されたタイミングで発火

今回は、リアルタイムで変更したかったため、inputを採用しました。
同じタイミングのeventとして、keyupがありますが、こちらだと上書きの際に古いデータまで取得してしまう（要するにうまくいかない）ので注意が必要です。

---2022/5/19 編集履歴---
カーソル位置に関するごを指摘いただき、カーソル位置を移動させない処理を追記しました