ページ遷移したくなくてAjaxに手を出したけど…
なぜかページ遷移されてはまったので、こうしたら治ったよっていうアレ

ド初心者なので、詳しいことは偉い人に教えてもらってください。

##解決策
~~フォームタブの外にajaxのonclickイベントとってるボタンを置くと解決します。~~
追記
ボタンタブのtypeをbuttonと明記してあげると解決します！(ご指摘頂いたy-tn先生に感謝です！！)
こんな感じ

<button id="ajax" type="button">ajax</button>

##うまくいかなかったコード
イベントとってる#ajaxのボタンがフォームタブの中にあります。

<form id="form" method="post" accept-charset="utf-8" return false>
    <p>名前<input type="text" name="userid" id="userid"></p>
    <p>パスワード<input type="text" name="passward" id="passward"> </p>
    <button id="ajax">ajax</button>
</form>

<script type="text/javascript">
        $(function(){
            // Ajax button click
            $('#ajax').on('click',function(){
            ...

##~~うまくいったコード~~非推奨
~~イベントとってる#ajaxのボタンがフォームタブの外にあります。~~
ボタンタブにtype="button"を追加してあげてください。

<form id="form" method="post" accept-charset="utf-8" return false>
    <p>名前<input type="text" name="userid" id="userid"></p>
    <p>パスワード<input type="text" name="passward" id="passward"> </p>
</form>
<button id="ajax">ajax</button>

<script type="text/javascript">
        $(function(){
            // Ajax button click
            $('#ajax').on('click',function(){
            ...