user:
ベイズ回帰と、その結果から、目的変数の変動に寄与する有意な相関関係を発見するためのPythonコードを書いてください。ダミーデータの変数名として、目的変数をY、説明変数をX_1, X_2, ... としてください。データのサンプル数が少なくても使える手法を選んでください。詳細かつ厳密にお願いします。
assistant:
ベイズ回帰を用いて、目的変数 ( Y ) の変動に寄与する有意な説明変数 ( X_1, X_2, \dots ) を発見するPythonコードを示します。少数サンプルでも安定して推定できるリッジ回帰（L2正則化）をベイズ的に解釈する Bayesian Ridge Regression を利用します。
また、MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ）を使う PyMC による階層ベイズ回帰も示します。
📌 手法の選択
-
Bayesian Ridge Regression (Scikit-learn)
- 少数データでも過学習を防げる。
- 係数の不確実性（分布）を考慮できる。
- 計算コストが低く実装が容易。
-
階層ベイズ回帰（PyMC3またはPyMC4）
- 事前分布を自由に設定できる。
- 変数の重要性を確率的に評価できる。
- 計算コストは高いが、データが少なくても頑健。
コード
以下のコードでは、ダミーデータを作成し、ベイズ回帰を用いて有意な変数を特定します。
- ダミーデータを生成（(X_1, X_2, X_3, Y)）
- Bayesian Ridge Regression を適用
- PyMC を用いた階層ベイズ回帰
- 結果の可視化と有意な変数の特定
🔹 Bayesian Ridge Regression (Scikit-learn)
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import BayesianRidge
# ダミーデータ生成
np.random.seed(42)
n_samples = 20 # 少数サンプル
n_features = 3 # X_1, X_2, X_3
X = np.random.randn(n_samples, n_features)
true_coefs = np.array([1.5, -2.0, 0.0]) # X_3は影響なし
Y = X @ true_coefs + np.random.randn(n_samples) * 0.5 # ノイズ付き
# ベイズ回帰の適用
model = BayesianRidge()
model.fit(X, Y)
# 結果の表示
print("Bayesian Ridge Regression Coefficients:")
for i, coef in enumerate(model.coef_):
print(f"X_{i+1}: {coef:.3f} ± {model.sigma_[i, i]**0.5:.3f}")
# 係数の分布を可視化
plt.bar([f'X_{i+1}' for i in range(n_features)], model.coef_, yerr=np.sqrt(np.diag(model.sigma_)))
plt.xlabel("Features")
plt.ylabel("Coefficient Value")
plt.title("Bayesian Ridge Regression Coefficients")
plt.show()
この結果から、標準誤差が小さくゼロと有意に異なる変数が、( Y ) に寄与していると考えられます。
さらに、PyMC を用いた MCMC による階層ベイズ回帰も実装できますが、興味がありますか？
user:
ありがとうございます。PyMC を用いた MCMC による階層ベイズ回帰もお願いします。
assistant:
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import pymc as pm
import arviz as az
from sklearn.linear_model import BayesianRidge
# ダミーデータ生成
np.random.seed(42)
n_samples = 20 # 少数サンプル
n_features = 3 # X_1, X_2, X_3
X = np.random.randn(n_samples, n_features)
true_coefs = np.array([1.5, -2.0, 0.0]) # X_3は影響なし
Y = X @ true_coefs + np.random.randn(n_samples) * 0.5 # ノイズ付き
# ベイズ回帰の適用（Bayesian Ridge Regression）
model = BayesianRidge()
model.fit(X, Y)
# 結果の表示
print("Bayesian Ridge Regression Coefficients:")
for i, coef in enumerate(model.coef_):
print(f"X_{i+1}: {coef:.3f} ± {model.sigma_[i, i]**0.5:.3f}")
# 係数の分布を可視化
plt.bar([f'X_{i+1}' for i in range(n_features)], model.coef_, yerr=np.sqrt(np.diag(model.sigma_)))
plt.xlabel("Features")
plt.ylabel("Coefficient Value")
plt.title("Bayesian Ridge Regression Coefficients")
plt.show()
# 階層ベイズ回帰（PyMC）
with pm.Model() as bayesian_model:
# 事前分布
alpha = pm.Normal("alpha", mu=0, sigma=10)
beta = pm.Normal("beta", mu=0, sigma=5, shape=n_features)
sigma = pm.HalfNormal("sigma", sigma=1)
# 線形モデル
mu = alpha + pm.math.dot(X, beta)
# 観測データ
Y_obs = pm.Normal("Y_obs", mu=mu, sigma=sigma, observed=Y)
# MCMCサンプリング
trace = pm.sample(2000, tune=1000, return_inferencedata=True)
# 結果の表示
az.plot_posterior(trace, var_names=["beta"])
plt.show()
# 係数の事後分布の要約
summary = az.summary(trace, var_names=["beta"])
print(summary)
PyMC を用いた MCMC による階層ベイズ回帰を追加しました。このコードでは、PyMC を使って係数の事後分布を推定し、ArviZ で可視化します。az.summary(trace, var_names=["beta"]) により、係数の事後分布の統計情報を確認できます。
次に確認したいことや改良点はありますか？
user:
ありがとうございます。次の結果が出ましたが、どう解釈すれば良いですか？
Progress Draws Divergences Step size Grad evals Sampling Speed Elapsed Remaining
─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3000 0 0.93 7 1233.29 draws/s 0:00:02 0:00:00
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3000 0 0.62 3 624.94 draws/s 0:00:04 0:00:00
mean sd hdi_3% hdi_97% mcse_mean mcse_sd ess_bulk \
beta[0] 1.238 0.200 0.877 1.631 0.003 0.002 4188.0
beta[1] -1.980 0.139 -2.238 -1.717 0.002 0.002 3492.0
beta[2] -0.071 0.156 -0.384 0.209 0.003 0.002 3720.0
ess_tail r_hat
beta[0] 2763.0 1.0
beta[1] 2749.0 1.0
beta[2] 2947.0 1.0
assistant:
この結果の解釈は以下のようになります。
1. サンプリングの健全性
-
Divergences (発散): 0
- 発散がないので、MCMC の収束がうまくいっている。
-
r_hat ≈ 1.0
- すべての係数について r_hat が 1.0 なので、収束が確認できる。
-
ESS (Effective Sample Size)
-
ess_bulkやess_tailが 2000 を大きく超えており、十分な有効サンプル数が確保されている。 - MCMC の結果が信頼できる。
-
2. 各変数の影響
| 変数 | 平均 (mean) | 標準偏差 (sd) | 95% 信頼区間 (hdi_3% ～ hdi_97%) |
|---|---|---|---|
| β₀ (X_1) | 1.238 | 0.200 | (0.877, 1.631) |
| β₁ (X_2) | -1.980 | 0.139 | (-2.238, -1.717) |
| β₂ (X_3) | -0.071 | 0.156 | (-0.384, 0.209) |
β₀ (X_1)
- 1.238 ± 0.200 で、95% 信頼区間は (0.877, 1.631)。
- ゼロを含まないので、X_1 は 有意に Y に影響を与えている。
β₁ (X_2)
- -1.980 ± 0.139 で、95% 信頼区間は (-2.238, -1.717)。
- これもゼロを含まないので、X_2 も 有意に Y に影響を与えている。
β₂ (X_3)
- -0.071 ± 0.156 で、95% 信頼区間は (-0.384, 0.209)。
- ゼロを含むため、X_3 は Y に有意な影響を与えていない可能性が高い。
3. 結論
- X_1 (β₀) と X_2 (β₁) は Y に統計的に有意な影響を与えている。
- X_3 (β₂) は Y に有意な影響を与えていない（影響が小さいか、ゼロに近い）。
- 統計的に信頼できる結果が得られている。
次に、これを視覚的に分かりやすくするために、事後分布のヒストグラムや、各変数の影響度を可視化するプロットを追加しましょうか？
user:
はい、お願いします。
assistant:
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import pymc as pm
import arviz as az
from sklearn.linear_model import BayesianRidge
# ダミーデータ生成
np.random.seed(42)
n_samples = 20 # 少数サンプル
n_features = 3 # X_1, X_2, X_3
X = np.random.randn(n_samples, n_features)
true_coefs = np.array([1.5, -2.0, 0.0]) # X_3は影響なし
Y = X @ true_coefs + np.random.randn(n_samples) * 0.5 # ノイズ付き
# ベイズ回帰の適用（Bayesian Ridge Regression）
model = BayesianRidge()
model.fit(X, Y)
# 結果の表示
print("Bayesian Ridge Regression Coefficients:")
for i, coef in enumerate(model.coef_):
print(f"X_{i+1}: {coef:.3f} ± {model.sigma_[i, i]**0.5:.3f}")
# 係数の分布を可視化
plt.bar([f'X_{i+1}' for i in range(n_features)], model.coef_, yerr=np.sqrt(np.diag(model.sigma_)))
plt.xlabel("Features")
plt.ylabel("Coefficient Value")
plt.title("Bayesian Ridge Regression Coefficients")
plt.show()
# 階層ベイズ回帰（PyMC）
with pm.Model() as bayesian_model:
# 事前分布
alpha = pm.Normal("alpha", mu=0, sigma=10)
beta = pm.Normal("beta", mu=0, sigma=5, shape=n_features)
sigma = pm.HalfNormal("sigma", sigma=1)
# 線形モデル
mu = alpha + pm.math.dot(X, beta)
# 観測データ
Y_obs = pm.Normal("Y_obs", mu=mu, sigma=sigma, observed=Y)
# MCMCサンプリング
trace = pm.sample(2000, tune=1000, return_inferencedata=True)
# 結果の表示
az.plot_posterior(trace, var_names=["beta"])
plt.show()
# 係数の事後分布の要約
summary = az.summary(trace, var_names=["beta"])
print(summary)
# 事後分布のヒストグラム可視化
fig, axes = plt.subplots(1, n_features, figsize=(12, 4))
for i in range(n_features):
az.plot_posterior(trace, var_names=[f"beta[{i}]"], ax=axes[i])
axes[i].set_title(f"X_{i+1} (β_{i})")
plt.tight_layout()
plt.show()
事後分布のヒストグラムを追加しました。各変数 (X_1, X_2, X_3) の係数の分布を可視化し、影響の大きさを直感的に理解しやすくなっています。次に確認したい点や追加したい可視化はありますか？
user:
次のエラーを修正してください。
---------------------------------------------------------------------------
KeyError Traceback (most recent call last)
/usr/local/lib/python3.11/dist-packages/arviz/utils.py in _var_names(var_names, data, filter_vars, errors)
77 try:
---> 78 var_names = _subset_list(
79 var_names, all_vars, filter_items=filter_vars, warn=False, errors=errors
3 frames
KeyError: "['beta[0]'] are not present"
The above exception was the direct cause of the following exception:
KeyError Traceback (most recent call last)
/usr/local/lib/python3.11/dist-packages/arviz/utils.py in _var_names(var_names, data, filter_vars, errors)
81 except KeyError as err:
82 msg = " ".join(("var names:", f"{err}", "in dataset"))
---> 83 raise KeyError(msg) from err
84 return var_names
85
KeyError: 'var names: "[\'beta[0]\'] are not present" in dataset'
assistant:
エラーの原因は、PyMC の trace から取得する変数名の指定方法にあります。PyMC の trace では "beta" はそのままの形で格納されており、"beta[0]" のような個別のインデックス指定では参照できません。そのため、可視化の際に var_names=["beta"] のままにする必要があります。
修正点:
-
az.plot_posterior(trace, var_names=["beta"])を維持する。 -
az.plot_posterior(trace, var_names=[f"beta[{i}]"], ax=axes[i])をaz.plot_posterior(trace.posterior.beta[:, i], ax=axes[i])に変更する。
修正後のコードを適用します。
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import pymc as pm
import arviz as az
from sklearn.linear_model import BayesianRidge
# ダミーデータ生成
np.random.seed(42)
n_samples = 20 # 少数サンプル
n_features = 3 # X_1, X_2, X_3
X = np.random.randn(n_samples, n_features)
true_coefs = np.array([1.5, -2.0, 0.0]) # X_3は影響なし
Y = X @ true_coefs + np.random.randn(n_samples) * 0.5 # ノイズ付き
# ベイズ回帰の適用（Bayesian Ridge Regression）
model = BayesianRidge()
model.fit(X, Y)
# 結果の表示
print("Bayesian Ridge Regression Coefficients:")
for i, coef in enumerate(model.coef_):
print(f"X_{i+1}: {coef:.3f} ± {model.sigma_[i, i]**0.5:.3f}")
# 係数の分布を可視化
plt.bar([f'X_{i+1}' for i in range(n_features)], model.coef_, yerr=np.sqrt(np.diag(model.sigma_)))
plt.xlabel("Features")
plt.ylabel("Coefficient Value")
plt.title("Bayesian Ridge Regression Coefficients")
plt.show()
# 階層ベイズ回帰（PyMC）
with pm.Model() as bayesian_model:
# 事前分布
alpha = pm.Normal("alpha", mu=0, sigma=10)
beta = pm.Normal("beta", mu=0, sigma=5, shape=n_features)
sigma = pm.HalfNormal("sigma", sigma=1)
# 線形モデル
mu = alpha + pm.math.dot(X, beta)
# 観測データ
Y_obs = pm.Normal("Y_obs", mu=mu, sigma=sigma, observed=Y)
# MCMCサンプリング
trace = pm.sample(2000, tune=1000, return_inferencedata=True)
# 結果の表示
az.plot_posterior(trace, var_names=["beta"])
plt.show()
# 係数の事後分布の要約
summary = az.summary(trace, var_names=["beta"])
print(summary)
# 事後分布のヒストグラム可視化
fig, axes = plt.subplots(1, n_features, figsize=(12, 4))
for i in range(n_features):
az.plot_posterior(trace.posterior["beta"].sel(beta_dim=i), ax=axes[i])
axes[i].set_title(f"X_{i+1} (β_{i})")
plt.tight_layout()
plt.show()
エラーの原因となっていた beta[0] のような変数名の参照方法を修正しました。trace.posterior["beta"].sel(beta_dim=i) を使用することで、正しく変数を取得できるようになっています。これでエラーが解消されるはずです。動作を確認してみてください！
user:
上記コードをベースに、次のエラーを修正してください。
---------------------------------------------------------------------------
KeyError Traceback (most recent call last)
<ipython-input-32-126527aac4f7> in <cell line: 0>()
57 fig, axes = plt.subplots(1, n_features, figsize=(12, 4))
58 for i in range(n_features):
---> 59 az.plot_posterior(trace.posterior["beta"].sel(beta_dim=i), ax=axes[i])
60 axes[i].set_title(f"X_{i+1} (β_{i})")
61 plt.tight_layout()
3 frames
/usr/local/lib/python3.11/dist-packages/xarray/core/indexing.py in group_indexers_by_index(obj, indexers, options)
146 raise KeyError(f"no index found for coordinate {key!r}")
147 elif key not in obj.dims:
--> 148 raise KeyError(
149 f"{key!r} is not a valid dimension or coordinate for "
150 f"{obj.__class__.__name__} with dimensions {obj.dims!r}"
KeyError: "'beta_dim' is not a valid dimension or coordinate for Dataset with dimensions FrozenMappingWarningOnValuesAccess({'chain': 2, 'draw': 2000, 'beta_dim_0': 3})"
assistant:
エラーの原因は、PyMC の trace で beta の次元名が "beta_dim_0" になっているためです。
そのため、sel(beta_dim=i) ではなく、正しい次元名を取得するよう修正する必要があります。
修正点:
-
trace.posterior["beta"].dimsで次元名を確認し、それに基づいてsel(...)を修正する。 - 一般的に
trace.posterior["beta"]の次元は("chain", "draw", "beta_dim_0")になっているので、beta_dim_0=iを指定する。
修正コードを適用します。
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import pymc as pm
import arviz as az
from sklearn.linear_model import BayesianRidge
# ダミーデータ生成
np.random.seed(42)
n_samples = 20 # 少数サンプル
n_features = 3 # X_1, X_2, X_3
X = np.random.randn(n_samples, n_features)
true_coefs = np.array([1.5, -2.0, 0.0]) # X_3は影響なし
Y = X @ true_coefs + np.random.randn(n_samples) * 0.5 # ノイズ付き
# ベイズ回帰の適用（Bayesian Ridge Regression）
model = BayesianRidge()
model.fit(X, Y)
# 結果の表示
print("Bayesian Ridge Regression Coefficients:")
for i, coef in enumerate(model.coef_):
print(f"X_{i+1}: {coef:.3f} ± {model.sigma_[i, i]**0.5:.3f}")
# 係数の分布を可視化
plt.bar([f'X_{i+1}' for i in range(n_features)], model.coef_, yerr=np.sqrt(np.diag(model.sigma_)))
plt.xlabel("Features")
plt.ylabel("Coefficient Value")
plt.title("Bayesian Ridge Regression Coefficients")
plt.show()
# 階層ベイズ回帰（PyMC）
with pm.Model() as bayesian_model:
# 事前分布
alpha = pm.Normal("alpha", mu=0, sigma=10)
beta = pm.Normal("beta", mu=0, sigma=5, shape=n_features)
sigma = pm.HalfNormal("sigma", sigma=1)
# 線形モデル
mu = alpha + pm.math.dot(X, beta)
# 観測データ
Y_obs = pm.Normal("Y_obs", mu=mu, sigma=sigma, observed=Y)
# MCMCサンプリング
trace = pm.sample(2000, tune=1000, return_inferencedata=True)
# 結果の表示
az.plot_posterior(trace, var_names=["beta"])
plt.show()
# 係数の事後分布の要約
summary = az.summary(trace, var_names=["beta"])
print(summary)
# 事後分布のヒストグラム可視化
beta_dim_name = [dim for dim in trace.posterior["beta"].dims if "beta_dim" in dim][0] # 正しい次元名を取得
fig, axes = plt.subplots(1, n_features, figsize=(12, 4))
for i in range(n_features):
az.plot_posterior(trace.posterior["beta"].sel({beta_dim_name: i}), ax=axes[i])
axes[i].set_title(f"X_{i+1} (β_{i})")
plt.tight_layout()
plt.show()
エラーの原因となっていた beta_dim の名称を動的に取得し、正しく参照するように修正しました。これで KeyError が解消されるはずです。試してみてください！
user:
ありがとうございます。エラーなく終了しました。この手法は、説明変数の正規化が必要ですか？
assistant:
ベイズ回帰（特に PyMC を用いた MCMC による階層ベイズ回帰）では、説明変数の正規化（標準化: 平均0、分散1にスケール）は 推奨されます。以下の理由があります。
1. 事前分布のスケール調整
- 事前分布（例えば
beta ~ Normal(0, 5)）は、標準化されていないデータに対して適切でない場合があります。 - 例えば、ある変数のスケールが
0.01で、別の変数のスケールが1000だと、共通のNormal(0, 5)の事前分布は適切でない可能性があります。
2. サンプリングの効率向上
- PyMC の NUTS サンプラーは、スケールが異なる変数があると遷移しづらくなり、サンプリングの効率が低下します。
- 変数のスケールを統一することで、収束が速くなり、事後分布の探索がスムーズになります。
3. 係数の解釈が容易
- すべての変数が標準化されていると、係数の大きさを直接比較しやすくなります。
- 標準化していない場合、係数の大きさは変数のスケールに依存するため、解釈が難しくなります。
ベストプラクティス
標準化（Zスコア変換）を行うには、以下の方法を追加するとよいでしょう。
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X) # Xを標準化
この X_scaled を PyMC のモデルに入力すると、より安定した推定が可能になります。
結論
正規化（標準化）は必須ではありませんが、推奨されます。
特に少数サンプルの場合、事後分布の収束や MCMC の効率を向上させるために、正規化を行うとよいでしょう。
user:
ありがとうございます。少数サンプルでも安定して推定できるリッジ回帰（L2正則化）をベイズ的に解釈する Bayesian Ridge Regression や、MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ）を使う PyMC による階層ベイズ回帰について、その理論に関して詳細かつ厳密に解説してください。
assistant:
Bayesian Ridge Regression（ベイズ的リッジ回帰）と、MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ）を用いた階層ベイズ回帰の理論について、厳密に解説します。
1. Bayesian Ridge Regression（ベイズ的リッジ回帰）
1.1. リッジ回帰の基本
リッジ回帰は、線形回帰に L2 正則化項を追加したものであり、次の目的関数を最小化します。
$\hat{\beta} = \arg\min_{\beta} \left{ \sum_{i=1}^{N} (y_i - X_i \beta)^2 + \lambda |\beta|^2 \right}$
ここで、
- $ X \in \mathbb{R}^{N \times p}$は説明変数の行列（(N) 個のサンプル、(p) 個の特徴量）
- $ y \in \mathbb{R}^{N}$ は目的変数
- $ \beta \in \mathbb{R}^{p} $ は回帰係数
- $ \lambda > 0 $ は正則化パラメータ
通常の最小二乗推定では、係数 ( \beta ) の推定値がデータの分散に強く依存するため、少数サンプルでは過学習しやすいですが、リッジ回帰は正則化によってこの問題を軽減します。
1.2. ベイズ的リッジ回帰
ベイズ的解釈では、( \beta ) に事前分布を課し、事後分布を推定します。一般的には、以下のような正規分布の事前分布を仮定します。
$$
\beta \sim \mathcal{N}(0, \alpha^{-1} I)
$$
ここで、$\alpha$ は精度（precision; 分散の逆数）を表すハイパーパラメータです。
また、観測誤差 $ \varepsilon $ も正規分布に従うと仮定します。
$$
y \mid X, \beta, \lambda \sim \mathcal{N}(X\beta, \lambda^{-1} I)
$$
このとき、ベイズの定理を用いて ( \beta ) の事後分布を求めると、次のように正規分布の形を保ちます。
$$
p(\beta \mid X, y) = \mathcal{N}(\mu, \Sigma)
$$
この事後分布の平均 ( \mu ) と分散 ( \Sigma ) は、以下のように計算できます。
$$
\Sigma = (\lambda X^T X + \alpha I)^{-1}
$$
$$
\mu = \lambda \Sigma X^T y
$$
ここで、$ \lambda $ や $ \alpha $ も未知の場合、共役事前分布（例えばガンマ分布）を仮定し、最尤推定や周辺化（積分）によって推定することができます。
特徴：
- 解析的に解けるため計算が高速
- 少数サンプルでも安定した推定が可能
- 係数の不確実性を考慮できる
2. MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ）による階層ベイズ回帰
Bayesian Ridge Regression は解析的に解けますが、より一般的な非線形モデルや階層ベイズモデルを扱う場合は、MCMC を用いた近似推論が必要になります。
2.1. 階層ベイズ回帰のモデル
MCMC によるベイズ回帰では、次のような確率モデルを仮定します。
-
事前分布（先験情報を表す）
$$
\alpha \sim \text{Gamma}(a_0, b_0)
$$
$$
\sigma \sim \text{HalfNormal}(\tau)
$$
$$
\beta_j \sim \mathcal{N}(0, \alpha^{-1})
$$ -
尤度関数（データが得られる確率）
$$
y_i \mid X_i, \beta, \sigma \sim \mathcal{N}(X_i \beta, \sigma^2)
$$
ここで、
- 階層構造：$ \beta $ の分布を制御するハイパーパラメータ $ \alpha $ に事前分布を課している
- 分散の事前分布：観測誤差の標準偏差 $ \sigma $ にも事前分布を課すことで、過度な過学習を防ぐ
2.2. MCMC による事後分布の推定
解析的に事後分布を求めることが困難な場合、MCMC によって事後分布を近似します。
PyMC では、NUTS（No-U-Turn Sampler） を用いることが一般的です。
NUTS の特徴：
- 勾配を利用したサンプリング（HMC: Hamiltonian Monte Carlo の拡張）
- チューニング不要で効率的に収束
- 高次元パラメータ空間でも安定
MCMC のサンプルが十分に取得できると、以下のような事後分布が得られます。
$$
p(\beta \mid X, y)
$$
事後分布の形状を確認することで、各パラメータの不確実性も評価できます。
2.3. Bayesian Ridge Regression との比較
| Bayesian Ridge Regression | MCMC (PyMC) | |
|---|---|---|
| 計算方法 | 解析的に解く | サンプリングによる近似 |
| 速度 | 高速 | 遅い（MCMC の収束に時間がかかる） |
| 柔軟性 | 正規分布の仮定が必要 | 非線形モデルや階層構造に対応可能 |
| パラメータの不確実性 | 正規分布の形で解析的に得られる | 任意の事後分布の形で得られる |
結論
- Bayesian Ridge Regression は、少数サンプルでも安定した回帰が可能であり、高速な解析的手法として有用。
- MCMC を用いた階層ベイズ回帰 は、柔軟なモデルを扱うのに適しており、事後分布の形状を詳細に評価できるが、計算コストが高い。
適用場面によって、どちらの手法を選択するかを決めるのが重要です。
user:
すみません、MCMC を用いた階層ベイズ回帰のどこが「階層」なのか、よく分からなかったので詳しく説明していただけますか？
assistant:
MCMC を用いた階層ベイズ回帰における「階層」の意味
階層ベイズ（Hierarchical Bayesian）回帰とは、パラメータが階層的な構造を持つモデル のことを指します。通常のベイズ回帰と異なり、パラメータ（回帰係数 β など）自体にも事前分布を持たせ、その事前分布のパラメータ（ハイパーパラメータ）にもさらに事前分布を与える ことで、より柔軟で頑健な推定が可能になります。
1. 階層構造の基本的な考え方
通常のベイズ回帰では、次のような事前分布を仮定します。
$$
\beta_j \sim \mathcal{N}(0, \sigma_{\beta}^2)
$$
しかし、この ( \sigma_{\beta}^2 ) を固定値にすると、データによっては適切でない場合があります。
→ そこで、( \sigma_{\beta}^2 ) にも事前分布を与え、データに応じて学習できるようにする のが階層ベイズです。
2. 階層ベイズ回帰のモデル
(1) 一般的な線形回帰モデル
まず、通常の線形回帰モデルを考えます。
$$
y_i = X_i \beta + \varepsilon_i, \quad \varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)
$$
ここで、$ \beta $ に事前分布を設定するのがベイズ回帰 ですが、階層ベイズでは この事前分布のパラメータ（ハイパーパラメータ）もデータから学習するようにします。
(2) 階層ベイズ回帰モデル
次のように 階層構造を持つ確率モデル を考えます。
第1層（観測データ）
$$
y_i \mid X_i, \beta, \sigma \sim \mathcal{N}(X_i \beta, \sigma^2)
$$
- これは通常の回帰モデルと同じ。
第2層（回帰係数の事前分布）
$$
\beta_j \mid \tau^2 \sim \mathcal{N}(0, \tau^2)
$$
- $ \beta $ の分散 $ \tau^2 $ にも未知のパラメータを設定
- $ \beta $ の大きさをデータに適応させるための柔軟性を持たせる
第3層（ハイパーパラメータの事前分布）
$$
\tau \sim \text{HalfNormal}(\lambda)
$$
- $ \tau $ にも事前分布を課すことで、$ \beta $ のスケールをデータから推定できるようにする
- これにより、不要な説明変数の係数はゼロに近づきやすくなる（スパース化）
3. なぜ「階層」なのか？
通常のベイズ回帰では、係数 ( \beta ) のみに事前分布を設定するのに対し、階層ベイズ回帰では、その事前分布のパラメータ（ハイパーパラメータ）にも事前分布を設定する ため、「層（レイヤー）」が増える という意味で 「階層ベイズ」 と呼ばれます。
この 階層構造により、データが少ない場合でも適切な正則化が自然に行われ、頑健な推定が可能 になります。
4. PyMC による階層ベイズ回帰の具体例
上記の階層モデルを PyMC を使って実装すると、以下のようになります。
import pymc as pm
import numpy as np
import arviz as az
# ダミーデータ
np.random.seed(42)
n_samples = 20
n_features = 3
X = np.random.randn(n_samples, n_features)
true_coefs = np.array([1.5, -2.0, 0.0])
Y = X @ true_coefs + np.random.randn(n_samples) * 0.5 # ノイズあり
# 階層ベイズ回帰モデル
with pm.Model() as hierarchical_model:
# 第3層（ハイパーパラメータの事前分布）
tau = pm.HalfNormal("tau", sigma=1)
# 第2層（回帰係数の事前分布）
beta = pm.Normal("beta", mu=0, sigma=tau, shape=n_features)
# ノイズの標準偏差（観測誤差）
sigma = pm.HalfNormal("sigma", sigma=1)
# 第1層（観測データ）
mu = pm.math.dot(X, beta)
Y_obs = pm.Normal("Y_obs", mu=mu, sigma=sigma, observed=Y)
# MCMC によるサンプリング
trace = pm.sample(2000, tune=1000, return_inferencedata=True)
# 結果の可視化
az.plot_posterior(trace, var_names=["beta", "tau"])
az.summary(trace, var_names=["beta", "tau"])
5. Bayesian Ridge Regression との違い
| Bayesian Ridge Regression | 階層ベイズ回帰（MCMC） | |
|---|---|---|
| 階層構造 | なし（( \beta \sim \mathcal{N}(0, \alpha^{-1}) )） | あり（( \tau ) に事前分布） |
| 計算方法 | 解析的に解く | MCMC によるサンプリング |
| 柔軟性 | 正規分布の仮定が必要 | より複雑なモデルに対応可能 |
| 正則化の自動調整 | なし（固定パラメータ） | あり（( \tau ) をデータから推定） |
| 推定精度 | 少数サンプルでも安定 | より頑健な推定が可能だが計算コストが高い |
6. まとめ
✅ 階層ベイズ回帰の「階層」とは、事前分布のハイパーパラメータにも事前分布を与えること。
✅ これにより、データに適応した正則化が自動的に行われる。
✅ 少数サンプルでも過学習を抑えつつ、スパース化が可能。
✅ 計算コストは高いが、柔軟で解釈性の高い推定ができる。
階層ベイズ回帰は、特に データが少ない場合や変数選択が重要な場面 で有効な手法です！
user:
ありがとうございました。大変勉強になりました！
assistant:
どういたしまして！お役に立ててよかったです 😊✨
ベイズ推論や MCMC は奥が深いので、さらに理解を深めたい場合は Stan や Hamiltonian Monte Carlo (HMC) も調べてみると面白いですよ！
また何か質問があれば、いつでも聞いてくださいね！📊📈