問題
(2.76)の両辺に次の行列(2.287)を掛け. また(2.77)の定義を用いることで(2.76)の恒等式を証明せよ.
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}^{-1}
=
\begin{pmatrix}
M&-MBD^{-1}\\
-D^{-1}CM&D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1}
\end{pmatrix}
\tag{2.76}
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\tag{2.287}
M=(A-BD^{-1}C)^{-1}
\tag{2.77}
方針
誘導に従い(2.287)を(2.76)の両辺にかけ整理
あとで便利なので$M^{-1}=(A-BD^{-1}C)$を示しておく。
解法
まず右辺から
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}^{-1}
=I
次に左辺
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
M&-MBD^{-1}\\
-D^{-1}CM&D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
AM-BD^{-1}CM&A(-MBD^{-1})+B(D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1})\\
CM+D(-D^{-1}CM)&-CMBD^{-1}+DD^{-1}+DD^{-1}CMBD^{-1}
\end{pmatrix}
左上
\begin{align*}
\mathrm{AM-BD^{-1}CM}
&=\mathrm{(A-BD^{-1}C)M}\\
&=\mathrm{M^{-1}M}\\
&=1
\end{align*}
右上
\begin{align*}
\mathrm{A\bigl(-MBD^{-1}\bigr)+B\bigl(D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1}\bigr)}
&=\mathrm{MBD^{-1}\bigl(CBD^{-1}-A\bigr)+BD^{-1}}\\
&=\mathrm{-MBD^{-1}M^{-1}+BD^{-1}}\\
&=0
\end{align*}
左下
\begin{align*}
\mathrm{CM-DD^{-1}CM=0}
\end{align*}
右下
\begin{align*}
\mathrm{-CMBD^{-1}+DD^{-1}+DD^{-1}CMBD^{-1}}&=\mathrm{DD^{-1}}\\
&=1
\end{align*}
まとめると
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}
=I
したがって左辺=右辺より(2.76)の恒等式は示された