$k$ 標本問題について論じる. $2$標本問題もこの場合に含まれる. 1 元配置分散分析と同様の設定で $X_{h 1}, \cdots, X_{h n_{h}}$ を第 $h$ 母集団 $N_{p}\left(\mu_{h}, \Sigma_{h}\right), h=1, \cdots, k$ からの大きさ $n_{h}$ の無作為標本とする. 各 $h$ について $n_{h}>p$ とし $n=n_{1}+\cdots+$ $n_{k}$ とする. ここで分散行列が共通であるとする帰無仮説
$$
\begin{equation}
H: \Sigma_{1}=\cdots=\Sigma_{k}
\end{equation}
$$
を考える. $\mu_{h}$ はいずれの場合にも任意とする.
$$
\begin{equation}
W_{h}=\sum_{t}(X_{h t}-\bar{X}_{h})
\end{equation}
$$
$$
W_{E}=\sum_{h} W_{h}
$$
とおけば
帰無仮説のもとでの共通の $\Sigma$ の最尤推定量は $\hat{\Sigma}=\frac{W_{E}}{n}$ で与えられる.
また対立仮説の もとで $\Sigma_{h}$ の 最尤推定量は
$\hat{\Sigma}{h}=W{h}/n_{h}$
で与えられる. これらを尤度関数に代入して，尤度比検 定の棄却域を求める．
$$
\begin{aligned}
&\log L=\textbf { const }-\sum_{h=1}^{k} \frac{n_{h}}{2} \log \left| \frac{W_{h}}{n_{h} }\right|-\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{2} \textbf{tr} \left(\frac{W_{h}}{n_{h}}\right)^{-1} W_{h} \
=\text { const }-\sum_{n=1}^{k} \frac{n_{h}}{2} \log \left|W_{h}\right|+\sum_{n=1}^{k} \frac{n_{h}}{2} \log n_{h}-\sum_{h=1}^{k} \frac{1}{2} n_{h} p \
=\text { const }-\sum_{k=1}^{k} \frac{n_{h}}{2} \log \left|W_{h}\right|+\sum_{n=1}^{k} \frac{n_{h} p}{2} \log n_{h}-\frac{n p}{2}
\end{aligned}
$$
であり，
$$
\begin{aligned}
\log L=\text { const }-\frac{n}{2} \log \left|\frac{W_{E}}{n}\right|-\frac{1}{2}\textbf{tr}\left(\frac{W_{E}}{n}\right)^{-1} \cdot W_{E}
=\text { const }-\frac{n}{2} \log \left|W_{E}\right|-\frac{n}{2} \log n^{p}-\frac{1}{2} n p
=\text { const }-\frac{n}{2} \log |W_{E}|-\frac{n p}{2} \log n-\frac{n p}{2}
\end{aligned}
$$
よって，尤度比検定の棄却域が
$$
\lambda=\frac{n^{n p / 2} \prod_{h=1}^{k}\left|W_{h}\right|^{n_{h} / 2}}{\left(\prod_{h=1}^{k} n_{h}^{n_{h} p / 2}\right)\left|W_{E}\right|^{n / 2}}<c
$$
で与えられることがわかる．
$1$標本問題と同様に不偏検定の観点から は $n_{h}$ をそれぞれ自由度 $n_{h}-1$ に置き換えて 得られる 次の形の修正尤度検定が望ましい、
$$
\frac{(n-k)^{(n-k) p / 2} \prod_{h=1}^{k}\left|W_{h}\right|^{\left(n_{h}-1\right) / 2}}{\left(\prod_{h=1}^{k}\left(n_{h}-1\right)^{\left(n_{h}-1\right) p / 2}\right)\left|W_{E}\right|^{(n-k) / 2}}<c^{\prime}
$$
この検定は 1 変量の場合にはバートレットの検定とよばれる. $1$次の漸近理論
に基づけば $c$ および $c^{\prime}$ の近似値として $-2 \log c=-2 \log c^{\prime}=\chi_{(k-1) p(p+1) / 2}^{2}(\alpha)$ とおくことができる.