はじめに

以下の論文のロジック部分のみまとめ
[1] G. Valenza, et. al. Revealing Real-Time Emotional Responses: a Personalized Assessment based on Heartbeat Dynamics. sicentific reports2013.

NARIモデルとは

非線形自己回帰積分モデル（nonlinear autoregressive integral model）
Wiener-volterra級数をベースにしているので、時系列データの中でも非マルコフ性を仮定しているため、生体情報等に向いている
モデリングにより短いスパンの情報でもタスクの分類を高精度で達成できる

NARIモデルの考え方

自己回帰積分モデルをテイラー展開する

論文中の（１）式から（３）式を導出する。

ある時刻 $k$ の値 $y(k)$ が過去の値

y \left( k-1 \right) , y \left( k-2 \right) , \ldots , y \left( k-M \right)

に依存すると考える。つまり

y(k) = {\rm \bf F} \left( y \left( k-1 \right) , y \left( k-2 \right) , \ldots , y \left( k-M \right) \right) + \epsilon (k) \tag{1}

ここで $\epsilon(k)$ は正規分布に従う i.i.d な確率変数。

(1)式において y の依存関係を無視して、各変数に関して $(y_{1}^0, y_{1}^0, \cdots , y_{M}^0)$ 周りでテイラー展開したい。しかしこれら変数は全て $k$ のみの関数なので、ある $k=k_0$ となる $\left( y \left( k_0 -1 \right) , y \left( k_0 -2 \right) , \ldots , y \left( k_0 -M \right) \right)$ 周りで展開する。

\begin{eqnarray}
y(k) &=& {\rm \bf F} \left( y \left( k-1 \right) , y \left( k-2 \right) , \ldots , y \left( k-M \right) \right) + \epsilon (k) \\

&=& {\rm \bf F} \left( y \left( k_0-1 \right) , y \left( k_0-2 \right) , \ldots , y \left( k_0-M \right) \right) \\

& & \ + \sum_{i=1}^M \left. \frac{\partial{\rm \bf F}}{ \partial y \left( k-i \right) } \right|_{k=k_0} \left( y\left( k - i \right) - y\left( k_0 - i \right) \right) \\

& & \ + \sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^M \frac{1}{2} \left. \frac{\partial^2{\rm \bf F}}{ \partial y \left( k-i \right) \partial y \left( k-j \right) } \right|_{k=k_0} \left( y\left( k - i \right) - y\left( k_0 - i \right) \right) \left( y\left( k - j \right) - y\left( k_0 - j \right) \right) + \epsilon (k)  \\

& & \ + \sum_{n=3}^{\infty} \sum_{i_1=1}^M \cdots \sum_{i_n=1}^M \frac{1}{n!} \left. \frac{\partial^n{\rm \bf F}}{ \partial y \left( k-i_1 \right) \cdots \partial y \left( k-i_n \right) } \right|_{k=k_0} \prod_{j=1}^n \left( y\left( k - j \right) - y\left( k_0 - j \right) \right) + \epsilon (k)

\tag{A}

\end{eqnarray}

この（A）式において第２項の変微分部分を $\gamma_1(i) $、第３項の変微分部分を $\gamma_2(i,j) $ 第４項を $\gamma_n $ とおくと

\begin{eqnarray}
y(k) 
&=& {\rm \bf F} \left( y \left( k_0-1 \right) , y \left( k_0-2 \right) , \ldots , y \left( k_0-M \right) \right) \\

& & + \sum_{i=1}^M \gamma_1(i) \left( y\left( k - i \right) - y\left( k_0 - i \right) \right) \\

& & + \sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^M  \gamma_2(i,j) \left( y\left( k - i \right) - y\left( k_0 - i \right) \right) \left( y\left( k - j \right) - y\left( k_0 - j \right) \right) + \epsilon (k) \\

& & \ + \sum_{n=3}^{\infty} \sum_{i_1=1}^M \cdots \sum_{i_n=1}^M  \gamma_n \prod_{j=1}^n \left( y\left( k - j \right) - y\left( k_0 - j \right) \right) + \epsilon (k) \tag{B}  \\


\end{eqnarray}

この（B）式で $k_0 = k - 1$ とおくと

\begin{eqnarray}
y(k) 
&=& y(k-1) \\

& & + \sum_{i=1}^M \gamma_1(i) \left( y\left( k - i \right) - y\left( k-1 - i \right) \right) \\

& & + \sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^M \frac{1}{2} \gamma_2(i,j) \left( y\left( k - i \right) - y\left( k - 1 - i \right) \right) \left( y\left( k - j \right) - y\left(k - 1 - j \right) \right) + \epsilon (k)  \\

& & \ + \sum_{n=3}^{\infty} \sum_{i_1=1}^M \cdots \sum_{i_n=1}^M  \gamma_n \prod_{j=1}^n \left( y\left( k - j \right) - y\left( k-1 - j \right) \right) + \epsilon (k) \\




&=& y(k-1) \\

& & + \sum_{i=1}^M \gamma_1(i) \Delta y(k-i) \\

& & + \sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^M \frac{1}{2} \gamma_2(i,j) \Delta y(k-i) \Delta y(k-j)  \\

& & \ + \sum_{n=3}^{\infty} \sum_{i_1=1}^M \cdots \sum_{i_n=1}^M  \gamma_n \prod_{j=1}^n \Delta y(k-j) + \epsilon (k) \tag{C} \\


\end{eqnarray}

となりほぼ（３）式と一致。