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ユークリッドの果樹園 とオイラーのファイ関数の和の高速化(その3)

Last updated at Posted at 2021-11-04

オイラーのファイ関数の和の高速化

前回の投稿で以下の漸化式が出ましたので、これをプログラムにして行きたいと思います。

$\displaystyle \sum_{m=1}^{N} φ(N) = G(N,1)+1 $
$\displaystyle = \frac{N(N-1)}{2}-\sum_{m=2}^{N} G(\lfloor \frac{N}{m} \rfloor ,1)+1$

まず再帰関数にしやすいように+1のところは後にして、以下の式を考えます

$\displaystyle G(N,1)= \frac{N(N-1)}{2}-\sum_{m=2}^{N} G(\lfloor \frac{N}{m} \rfloor ,1)$

これをプログラムにしたのが下のV3.0です、それなりに速くなっていると思いますが、まだ1分以内で計算できるのは$10^7$までです。さらなる高速化を考えます。

# V3.0 G(N,1) recursive with lru_cache
from functools import lru_cache
@lru_cache(maxsize=None)
def G(n):
  if n == 0: return 0
  ret = 0
  for m in range(2,n+1):
    ret += G(n//m)
  return n*(n-1)//2-ret 

n = 10**8
print(n, G(n))
# 100000000 3039635516365907
$10^4$ $10^5$ $10^6$ $10^7$ $10^8$
V1.0(gcd) 8s x x x x
V2.0(totient) 0s 0s 70s x x
V3.0(G(N,1)) 0s 0s 1s 16s 180s

次に$N//m$に注目すると、その値は同じ値を取る場合が多いことに気づきます。例えば$N=10,m=2$の場合だと以下のようになります。すなわち$m\leqq x < m'$で同じ値になっています。従ってこの区間は再帰呼び出しを1回だけ行い$(m'-m)$倍してして、その後$m$を$m'$にスキップすればよいことが分かります。

N m N//m m'
10 2 5 3
10 3 3 4
10 4 2 6
10 5 2 6
10 6 1 11
10 7 1 11
10 8 1 11
10 9 1 11
10 10 1 11

このように変更したコードが下のV3.1です。さらに+1するコードをかぶせて$ \sum_{m=1}^{N}φ(N)$を求める最終的な関数totsumをインプリしました。この結果$10^{10}$まで約1分で計算できるようになりました。

# totsum V3.1 totsum
from functools import lru_cache

def totsum(n):
  @lru_cache(maxsize=None)
  def G(n):
    if n == 0: return 0
    ret, m1 = 0, 2
    while m1 < n:
      n1 = n//m1
      m2 = n//n1 + 1
      ret += (m2-m1)*G(n1)
      m1 = m2
    return (n*(n-1))//2-ret
  return G(n)+1

n = 10**8
print(n, totsum(n))
$10^4$ $10^5$ $10^6$ $10^7$ $10^8$ $10^9$ $10^{10}$
V1.0(gcd) 8s x x x x x x
V2.0(totient) 0s 0s 70s x x x x
V3.0(G(N,1)) 0s 0s 1s 16s 180s x x
V3.1(totsum) 0s 0s 0s 0s 1s 10s 64s

このアルゴリズムはEuler ProjectのProblem 351, 202等に役にたつと思います。

(開発環境:Google Colab)

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