できるかぎりミニマムに。
Blob化してObjectURL化してanchorのdownload属性に設定することでダウンロードさせる。

できるもの

コード

ExportDialog.html

<!DOCTYPE html>
<html>
  <head>
    <base target="_top">
    <script type="text/javascript">
    window.onload = function () {
      var json = "<?= data.json ?>"
      var blob = new Blob([ json ], { "type" : "application/json" });
      document.getElementById("dl-link").href = window.URL.createObjectURL(blob);
      return true
    }
    </script>
    <style>
    .button {
      background-color: #009688;  
      border-radius: 5px;
      color: white;
      padding: .5em;
      text-decoration: none;
    }

    .button:focus,
    .button:hover {
      background-color: #00796B;
    }
    </style>
  </head>
  <body>
    <a id="dl-link" class="button" href="" download="<?= data.name ?>">
      Download <?= data.name ?>  
    </a>
  </body>
</html>

lib.gs

function showExportJsonDialog(name, json) {
  data = {
    name: name,
    json: json
  }
  var html = HtmlService
               .createTemplateFromFile('ExportDialog')
               .evaluate()
               .setSandboxMode(HtmlService.SandboxMode.IFRAME)
               .setWidth(200)
               .setHeight(50);
  SpreadsheetApp.getUi().showModalDialog (html, 'Export');
}

example.gs

function main() {
  var users = [
    {name: '太郎', age: 16},
    {name: '二郎', age: 12},
    {name: '三郎', age: 7}
  ];
  showExportJsonDialog('users.json', JSON.stringify(users, null, 2));
}

Spreadsheetをパースしてjsonとしてダウンロードする

できるもの

コード