X→Z→Y における独立性の性質を数式で証明する

因果推論の連鎖経路の基本性質の証明をします。

連鎖経路¹ とは次のような状態を示します：

X \rightarrow Z \rightarrow Y

このとき、次の内容が成立します¹

\begin{align}
X \not\perp Y \\
X \perp Y | Z \\
\end{align}

参考書籍¹でこちらの内容の証明はされていなかったため、こちらの内容の証明をしたいと思います。

1) XとYが独立でないことの証明

独立性の定義より、$P(X)P(Y),P(X,Y)$の関係性を調べる。

\begin{align}
P(X, Y) &= \sum_Z P(X, Y, Z) \\
&= P(X) \sum_Z P(Y|Z) P(Z|X)
\end{align}

加えて、$P(Y) = \sum_Z P(Y|Z) P(Z)$を加えると下記が成立する:

\begin{align}
& P(X)P(Y) - P(X,Y) \\
= & P(X) \sum_Z P(Y|Z) 
\left\{ 
P(Z) - P(Z|X) \right\}
\end{align}

よって、 $\forall X, P(Z|X) = P(Z)$ であるとき $P(X)P(Y) = P(X,Y)$ となる。このとき、$P(Z|X) = \frac{P(X,Z)}{P(X)}=P(Z)$ であるため、これの成立は $Z \perp X$ であり連鎖経路と矛盾。

よって $X \not\perp Y$。

2) XとYはZが与えられた時の条件付き独立であることの証明

つまり $P(X,Y|Z) = P(X|Z)P(Y|Z)$ を示せばよい。

\begin{align}
P(X,Y|Z) 
&= \frac{P(X,Y,Z)}{P(Z)} \\
&= \frac{P(Y|Z)P(Z|X)P(X)}{P(Z)} \\
&= \frac{P(Y|Z)\cdot P(Z|X)P(X)}{P(Z)} \\
&= P(Y|Z) \frac{P(X,Z)}{P(Z)} \\
&= P(Y|Z) P(X|Z)
\end{align}

よって、$X \perp Y | Z $である。

最後に

本記事があなたの役に立てば幸いです。

また、私主催ではありますが2025年5月現在、参考書籍¹について輪読会をしています。ゆるく開催していますので興味ありましたら、XのDMやメンション等でご連絡ください。

今週の火曜日の21:00-22:00から毎週で因果推論の輪読会をする予定なので興味あれば連絡ください！（すでに諸々声をかけて何人か集まってます）

条件はオーム社 金本拓さんの因果推論の本を持ってることです.
進め方は前準備なく参加できる方式で、その場で読んでいく形の予定です.

— のぞみ (@NozomiMaki2) May 10, 2025

1. 因果推論　基礎から機械学習・時系列解析・因果探索を用いた意思決定のアプローチ　金本拓 pp.43 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴