これをしたくて検索しても、たいていアップロードしてS3に保存する的な利用方法での実装が多く、

すでに存在するファイルを保存したい
名前はそのまま
公開権限をつけたい

という前提だとなかなか情報にたどり着かずでした。

そのため、いろいろ試行錯誤したところ下記のようにシンプルなコードで実装することができました（Laravel5.5です）。

Laravel

use Illuminate\Support\Facades\Storage;
use Illuminate\Http\File;

$disk = Storage::disk('s3');
$disk->putFileAs($savePath, New File($filePath), $fileName, ['ACL' => 'public-read']);

$savePath ： S3上のパス ※最初と最後の / は省く
$filePath ：ローカル上のファイルのフルパス（ファイル名含む）
$fileName ： S3に保存するときのファイル名

ちなみに、Illuminate\Http\File を use せず、…, New File($filePath),… を …, New \File($filePath),… とすると、Illuminate\Support\Facades\File が読み込まれてしまいエラーになる場合があるのでご注意を。

追記

上記はLaravel8では動作しませんでした。本バージョンでは下記になります。

Laravel

$disk = Storage::disk('s3');
$disk->putFileAs($savePath, $filePath, $fileName, ['ACL' => 'public-read']);