0. 反省文
分かっていたはずが、実際に問題に出たら解けなかったので(分かっていなかったことが分かった)
反省として、解答を記述します。
1. 問題
M = \left(
\begin{array}{ccc}
0.1 & 0.3 & 0.6 \\
0.4 & 0.2 & 0.4 \\
0.5 & 0.5 & 0
\end{array}
\right)
(1) 行列$M$の固有値$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$を求めなさい。ただし$\lambda_1\leq \lambda_2 \leq \lambda_3$とします。
(2) 机の上にランプがあります。このランプは次の規則に従って、赤、青、緑の色に店頭します。
・スイッチを入れた時点では赤色に点灯する。
・スイッチを入れてから1分ごとに、下の表の確率に従って点灯するランプの色が変化する。
ただし、色が変化しない場合は、「同じ色に変化する」と考える。
このとき、$M^n$を計算することにより、スイッチを入れてから$n$分後のランプの色が青である確率を求め、$n$を用いて表しなさい。ただし、$n$は0以上の整数とします。
| 変化後＼変化前 | 赤 | 青 | 緑 |
|---|---|---|---|
| 赤 | 0.1 | 0.3 | 0.6 |
| 青 | 0.4 | 0.2 | 0.4 |
| 緑 | 0.5 | 0.5 | 0 |
2. 解
2.1 (1)の解
固有値を求めるには固有方程式$\det(M-\lambda I) = 0$を解けばよい。よって
\det(M-\lambda I) = \det \left(
\begin{array}{ccc}
0.1 - \lambda & 0.3 & 0.6 \\
0.4 & 0.2 - \lambda & 0.4 \\
0.5 & 0.5 & - \lambda
\end{array}
\right)
= 10\lambda^3-3\lambda^2-6\lambda+1
より$10\lambda^3-3\lambda^2-6\lambda+1 = 0$を解くと$\displaystyle \lambda_1= -\frac{1}{2},\ \lambda_2 = -\frac{1}{5},\ \lambda_3 = 1$
2.2 (2)の解
方針としては
- 固有値に対する固有ベクトルを求める
- 固有ベクトルから対角化$P^{-1}MP=\Lambda$できるような行列$P$を生成。
(ただし$\Lambda$は固有ベクトルに対する固有値が対角成分に入り、それ以外は0となる行列) - これより$M^n = P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}\ \dotsm P\Lambda P^{-1} = P\Lambda^n P^{-1}$を計算。
- 赤が初期値であるため、ベクトル$(1, 0, 0)^t$を$M^n$に右から掛けて、青を表す第2要素を求める
2.2.1. 固有値に対する固有ベクトルを求める
$\displaystyle \lambda_1= -\frac{1}{2}$の固有ベクトルを求める。
(M- (-\frac{1}{2})I) = \left(
\begin{array}{ccc}
0.6 & 0.3 & 0.6 \\
0.4 & 0.7 & 0.4 \\
0.5 & 0.5 & 0.5
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
となる$x, y, z$を求めればよい。これを求めると
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right)
=
\alpha \left(
\begin{array}{ccc}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}
\right)
(\alphaは任意定数)
同様に$\displaystyle \lambda_2= -\frac{1}{5}, \ \lambda_3= 1$の固有ベクトルは、
\lambda_2= -\frac{1}{5}に関する固有ベクトルは
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right)
=
\beta \left(
\begin{array}{ccc}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}
\right)
(\beta は任意定数)
\lambda_3= 1に関する固有ベクトルは
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right)
=
\gamma \left(
\begin{array}{ccc}
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)
(\gammaは任意定数)
2.2.2. 固有ベクトルから対角化できるような行列を生成
例えば、$P$を以下のようにおけば(固有ベクトルを3つ並べる)
P = \left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
$P\Lambda P^{-1}$を計算すると
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{5} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)^{-1}
= \left(
\begin{array}{ccc}
0.1 & 0.3 & 0.6 \\
0.4 & 0.2 & 0.4 \\
0.5 & 0.5 & 0
\end{array}
\right)
= M
となる。
2.2.3. Mのn乗を計算
$M=P\Lambda P^{-1}$より$M^{n}=P\Lambda^{n} P^{-1}$であるので
P^{-1} =
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)^{-1}
= \frac{1}{3}
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 2 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
より
M^n =
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{5} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)^{n}
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)^{-1}
であるので
M = \frac{1}{3}
\left(
\begin{array}{ccc}
(-\frac{1}{2})^{n} + (-\frac{1}{5})^{n} + 1 & (-\frac{1}{2})^{n} -2 (-\frac{1}{5})^{n} + 1 & -2(-\frac{1}{2})^{n} + (-\frac{1}{5})^{n} + 1 \\
1 - (-\frac{1}{5})^{n} & 2(-\frac{1}{5})^{n} + 1 & 1 - (-\frac{1}{5})^{n} \\
1 - (-\frac{1}{2})^{n} & 1 - (-\frac{1}{2})^{n} & 2(-\frac{1}{2})^{n} + 1
\end{array}
\right)
2.2.3. 赤を初期値として青を表す第2要素を求める
よって以下の計算をした結果の青を表す第2要素を求める
M^n
\left(
\begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
= \frac{1}{3}
\left(
\begin{array}{ccc}
(-\frac{1}{2})^{n} + (-\frac{1}{5})^{n} + 1 \\
1 - (-\frac{1}{5})^{n} \\
1 - (-\frac{1}{2})^{n}
\end{array}
\right)
よって、$n$分後のランプの色が青である確率は$\displaystyle \frac{1}{3}(1 - (-\frac{1}{5})^{n})$
間違っていましたらご指摘お願いいたします。