順列
順列とは、n個の異なるものの中からr個を取り出し、順序をつけて1列に並べることを言います。
_nP_r=n(n-1)(n-2)…(n+r-1)=\frac{n!}{(n-r)!}
_nP_n=n! 0!=1 _nP_0=1
円順列と数珠順列
円順列とは、n個の異なるものを円形に並べる並べ方のことを言います。
数珠順列とは、n個の異なるもので数珠（輪）を作る順列のことを言います。
※円形のものを裏返すと同じものが2つできるという数珠の特徴に注意します
円順列の総数=(n-1)!
数珠順列の総数=\frac{円順列}{2}=\frac{(n-1)!}{2}
重複順列
重複順列とは、n個の異なるものの中から重複（同じものを繰り返し取ること）を許して、r個取り出す順列のことを言います。
_nΠ_r=n^r
- n人でジャンケンする時の手の出し方
- 異なるn個のサイコロを投げる時の目の出方
- n人をrつの部屋に入れる方法（空室は存在しても良い）
同じものを含む順列
いまn個のものがあり、それらのうちp個は同じもの、q個は別の同じもの、r個はまた別の同じもの、…、である時、これらのn個のものを全て使って1列に並べる順列は、以下のようになります。
同じものを含む順列の総数=\frac{n!}{p!q!r!…} （ただし、p+q+r+…=n）
組み合わせ
組み合わせとは、n個の異なるものの中から、順序を問題にしないで、r個を取り出して1つの組を作ることを言います。
_nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r!)}
_nC_r=_nC_{n-r} _nC_r=_{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r _nC_0=1
重複組み合わせ
重複組み合わせとは、n個の異なるものの中から、重複することを許して、r個を取り出して1つの組を作ることを言います。
_nH_r=_{n+r-1}C_r
確率の定義
ある試行の結果、起こりうる全ての場合の数がn(U)通り、事象Aの起こる場合の数がn(A)通りである時、事象Aの起こる確率P(A)は、以下のように定義されます。
P(A)=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}=\frac{n(A)}{n(U)} 0\leq P(A)\leq 1
加法定理
2つの事象AとBについて、「AとBがともに起こる」という事象を、AとBの積事象A∩Bと言い、その確率はP(A∩B)で表されます。「AまたはBが起こる」という事象を、AとBの積事象A∪Bと言い、その確率はP(A∪B)で表されます。
「AとBが決して同時に起こらない」とき互いに排反であると言い、このような事象を排反事象と言います。この場合、AとBの積事象は空事象であり、A∩B=φとなり、P(A∩B)=0となります。
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
乗法定理
2つの事象AとBが互いに独立（一方の試行の結果が他方の試行の結果に影響を及ぼさない）であるとき、以下の定理が成り立ちます。
P(A∩B)=P(A)P(B)
条件付き確率
2つの事象AとBについて、「Aが起こった時にBが起こる」条件付き確率 P(B|A)は次のように定義されます。
P(B|A)=\frac{P(A∩B)}{P(A)} P(A∩B)=P(A)P(B|A)
ベイズの定理
ベイズの定理は、ある結果（事象B）が起こった時、その原因（事象A）を推測するのに役立ち、次のように定義されます。
P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
P(A)は原因として先に知ることができ、事象Bの影響を受けていないので事前確率と言い、P(A|B)は結果(B)が分かった後で原因を知るという意味で事後確率と言います。またP(B|A)は、想定するパラメーターがある値をとる場合に観測している事柄や事象が起こりうる「もっともらしい」確率である尤度と言います。
