「ABC予想入門」という本の「2.8 素因数分解の一意性」に基づいて，素数について考えてみます．
ここで，$p,a,b$等は自然数とします．
定義
この記事では，以下の3つの定義のうち，素数と強素数が重要です．
定義
整数$m,n$に対して$m=na$となる整数$a$があるとき，$n$は$m$を割り切るといい$n\mid m$と書く．
$n$が$m$を割り切らないとき$n\nmid m$と書く．
定義
$p>1$とする．$p$が素数とは，次を満たすことである．
$p=ab$ならば$p=a$または$p=b$.
定義
$p>1$とする．$p$が強素数とは，次を満たすことである．
$p\mid ab$ならば$p\mid a$または$p\mid b$.
補題
ここで紹介する補題の証明はこの記事の最後の方で行います．
補題
$p$を素数とする．$a$は$p$で割り切れない，すなわち$p\nmid a$とする．このとき$p\mid (aa'+1)$となる$a'$が存在する．
やりたいこと
上記の定義のもとで，全ての素数が強素数であることの証明を考えます．
環論の言葉による証明
環論による証明は，次のステップで行います．
定義
環を定義します．環は演算としては和と積があります．積については可換です．和と積それぞれの単位元があります．
イデアルを定義します．環$R$の部分集合$I$がイデアルであるとは，$I$が和と積について閉じていて，$IR=\{ar\mid a\in I, r\in R\}\subset I$を満たすことです．
環の元$r\in R$とイデアル$I$に対して，$I$と$r$を含む最小のイデアルがあり，それは$aR+I$です．
$I$が極大イデアルとは，イデアル$I'$が$I\subset I'$を満たすなら$I'=I$または$I'=R$となることとします．
$I$が素イデアルとは，$ab\in I$ならば$a\in I$または$b\in I$となることとします．
定理
$p$が素数なら$p\mathbb Z$は極大イデアルである．
（証明）$I$はイデアルで$p\mathbb{Z}\subsetneq I$とする．$a\in I-p\mathbb{Z}$にとる．$a$は$p$で割り切れないので，補題より$aa'+1\in p\mathbb Z$となる$a'$が存在する．$aa'\in I$なので$1\in I$なので$I=\mathbb Z$である．
定理
極大イデアルは素イデアルである．
（証明）$I$を極大イデアルとし，$ab\in I$とする．$a\notin I$のときを考える．$I$は極大イデアルなのでイデアル$aR+I$は$R$である．$1\in R$なので$r\in R$と$i\in I$が存在して$1=ar+i$とできる．これに$b$をかけると$b=abr+ib$であるが，右辺は$I$に入っているので$b$も$I$に入る．
定理
$p\mathbb Z$が素イデアルなら$p$は強素数である．
まとめ
上記の3つの定理より，$p$が素数なら強素数であることがわかる．
整数の言葉による証明
$p$を素数とし，$p\mid ab$とする．
$p\nmid a$のときを考える．上記の補題より$a'$が存在して$p\mid (aa'+1)$とできる．ここで等式$(aa'+1)b-aba'=b$の左辺は$p$で割り切れるので$p\mid b$が成り立つ．
つまり$p\mid a$または$p\mid b$となる．$p$は強素数であるとわかる．