Products

4.2: Productsのノート

TerminalオブジェクトからのOutgoing Arrow

TerminalオブジェクトからのOutgoing Arrowは、Generalized objectを定義する。
シングルトンセットからオブジェクトへのArrowは、Set theoryでのオブジェクトを取り出す操作に相当する。

Oppositeカテゴリー

これまでに、２種類のUniversal constructionsが出てきた。

1. Temrinal object
2. Initial object

全てのカテゴリーには、Arrowの方向を逆にした、Oppositeカテゴリーが存在する。

Terminal Objectは、OppositeカテゴリーではInitial Objectになる。その逆もまた同じ。

CompositionのOpposite

$(g \circ f)^{op} = f^{op} \circ g^{op}$

で、Associative。

idのOpposite

idのOppositeはid。

Categorical Products

カテゴリーセオリーでのCartesian Products

以下の様な形になる。

Categorical Productsになる条件

$a$, $b$ に向けたArrowがあるオブジェクトがある状態にはいろいろなパターンがありえる。

どんな場合にCategorical Productsになるのかを判定するためには、Universal Constructionを使う。

具体的には、$a$, $b$に向けたArrowがあるオブジェクト同士と、$a$, $b$に向けたArrowの組について、ランク付けができる状態になっているかを確認する。

$c'$から$c$へのユニークなArrow $m$が存在して、そのArrowが、

$p = m \circ p'$
$q = m \circ q'$

を満たす場合、$c$は、$c'$よりも上のランクになる。

mとは何？

$m$ は、ランク下のProjection $p'$と$q'$を因数分解して、ランク上のProjection $p$と$q$に含まれない、単射性や全射性を損なう効果を抜き出したもの。

プログラミングを使った具体例

例１： a = Int, b = Bool, c = (Int, Bool), c' = Int

-- ランク上
p :: (Int, Bool) -> Int
p(a, _) = a

q :: (Int, Bool) -> Bool
q(_, b) = b

-- ランク下
p' :: Int -> Int
p' = id

q' :: Int -> Bool
q' = True

-- ランク付け。m is non-surjective. False is not mapped.
m :: Int -> (Int, Bool)  
m x = (x, True) 

mのイメージ

マップ先の２次元のスペース$(Int, Bool)$に、Trueだけがマップされていて、$False$ のマッピングが存在しない。

例２： a = Int, b = Bool, c = (Int, Bool), c' = (Int, Int, Bool)

-- ランク上
p :: (Int, Bool) -> Int
p(a, _) = a

q :: (Int, Bool) -> Bool
q(_, b) = b

-- ランク下
p' :: (Int, Int, Bool) -> Int
p'(x, _, _) = x

q' :: (Int, Int, Bool) -> Bool
q'(_, _, b) = b

-- ランク付け。m is non-injective. Second element is discarded.
m: (Int, Int, Bool) -> (Int, Bool)
m(x, y, b) = (x, b)

mのイメージ

3次元から2次元へのマッピングになっていて、Co-domainに対してイメージが縮小してしまっているので、単射ではない。

Categorical Productの定義

オブジェクト$c$から、オブジェクト$a$, $b$へのArrowが存在して、

p :: c -> a
q :: c -> q

全ての、オブジェクト$a$, $b$へのArrowが存在する、オブジェクト$c'$

p' :: c' -> a
q' :: c' -> b

について、ユニークなArrow

m :: c' -> c

が存在して、$m$が、以下の形で、$p'$, $q'$を因数分解する場合、
$p' = p \circ m$
$q' = q \circ m$

$c$は、$p$と$q$を伴っ、Categorical Productになる。

セットカテゴリー

全てのカテゴリーがCategorical Productsを持つわけではないし、もし持っていたとして、全てのオブジェクトペアがプロダクトを持つとは限らない。

セットカテゴリーでは、全ての２つのセットの組み合わせがプロダクトを持っている。

セットカテゴリーのようなカテゴリー

セットカテゴリーのようなカテゴリーを作る場合、以下の全てを持つ必要がある。

• Temrinal object
• Initial object
• Product
• Co-product

動画

Bartosz Milewski / Category Theory 4.2: Products
https://www.youtube.com/watch?v=Bsdl_NKbNnU