記事の内容

今回の記事では、数学的にも、プログラミング的にも、とても興味深いテーマを紹介します。

2つの自然数が互いに素である確率、という問題です。

そして、その答えは、

\dfrac{6}{\pi ^{2}}

であるというものです。

自然数が絡む確率の話なのに、なぜか円周率が出てくるのです！！

不思議ですよね。

この記事では、数学的な話とプログラムを使った話で、この問題を解説します。

問題のイメージ

もう少し説明しましょう。

自然数は無限にあります。その中から無作為に一つの自然数を選びます。続けて、重複を許しつつもう一度、自然数を無作為に選びます。

このとき選ばれた2つの自然数が互いに素である確率を考えるのです。

この答えに円周率である $ \pi $ が登場することが不思議に見えます。

くわえて、無限は厄介です。無限があるせいでイメージしづらくなります。

例

具体的に考えてみましょう。

範囲を100までの自然数とします。

この範囲で自然数を一つ選ぶ。さらに、もう一回選ぶ。

5と19が選ばれたとします。このとき、この2つの自然数が互いに素になるかどうかを考えるのです。

5と19なら、互いに素です。
21と63なら、互いに素ではありません。
68と7なら、互いに素です。

このように試行を繰り返せば、そこには確率を考えることができます。

少しはイメージがわいてきたでしょうか？

引用元　

この問題は、数学youtuberの鈴木貫太郎さんの動画から引用しています。
おそらく、もともと有名な問題なのではないでしょうか。

２つの自然数が互いに素ある確率。６／πの２乗

いったいどこから円周率が出てくるのか？

もう少し数学的な話に入っていきましょう。

どこから $ \pi$ が出てくるのか？
この謎の答えは、「自然数の平方の逆数の和」のせいです。

あの天才オイラーが解決した問題です。
オイラーは次の数式を導きました。

\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{1}{4^{2}}+\ldots =\dfrac{\pi ^{2}}{6}

この数式を導く過程で、「自然数の平方の逆数の和」を考えるために、三角関数を使って近似しているのです。三角関数を利用しているのならば、円周率である$ \pi$が登場するのも自然です。

詳しい証明は、鈴木貫太郎さんの動画をご覧ください。どのように三角関数を利用しているのか、ぜひチェックを。

そして、2つの自然数が互いに素である確率を求めようとすると、「自然数の平方の逆数の和」が式に現れてくるのです。上記のオイラーの式と繋がります。

プログラム使えば実験できるのでは!!

ここで一つ思いついたことがあります。

確率の話なのだから、実際に繰り返し試してみればいい。

実験すれば、数式の結果を確かめられるはずです。

コンピュータに繰り返し試行させることで、実際に確率を求めてみましょう！

今回はpythonで実装してみました。

ポイントは互いに素であるかどうかの判定です。これは、互いに1以外の公約数を持たなければいいのです。

2つの数を与えると最大公約数を返してくれる関数を考えます。このとき最大公約数が1ならば、互いに素であると判定できます。最大公約数を求めるアルゴリズムといえば、ユークリッドの互除法です。

ユークリッドの互除法では、以下の手順で最大公約数を求めます。

import math # 円周率をつかうため
import random

def gcd(a, b):
    """
    2つの整数 a, b の最大公約数 (GCD) をユークリッドの互除法で求める関数

    :param a: 整数
    :param b: 整数
    :return: a と b の最大公約数
    """
    while b != 0:  # b が 0 になるまで繰り返す
        a, b = b, a % b  # a を b に、b を a を b で割った余りに更新する
    return a  # b が 0 になったときの a が最大公約数

s = 0
num = 1

while num <= 10000000:
  a = random.randint(1,10000000)
  b = random.randint(1,10000000)
  if gcd(a,b) == 1: # 最大公約数が1のとき互いに素であると判定
    s += 1
  num += 1


print(s / num) # 実験値
print(6 / math.pi**2) # 理論値

今回は、1～10000000の中から自然数を選びます。
そして、10000000試行です。

その結果は、次のようになりました。
上が実験で求めた値、下が理論的に求めた値です。
かなり近い値になっていることがわかるとおもいます。この結果には驚きです。数学という理論の強さを目の当たりにした気分です。そして、プログラムをとおしてコンピュータを利用することの面白さも改めて確認できました。

0.607662239233776
0.6079271018540267

皆さんの環境でもぜひ試してみてください。