PCから埋め込みたい投稿にアクセスすることで、Instagramの埋め込みリンクを取得することができます（要ログイン）
しかし、このコードを直接HTMLに貼っても以下のような表示が出て、表示されません。
埋め込みコードの最終行のscriptの読み込み先URLがよくなさそうです。
umekomi.html
<script async src="//www.instagram.com/embed.js"></script>
この部分のURLにhttps:// をつけると正常に表示されました。
umekomi.html
<script async src="https://www.instagram.com/embed.js"></script>
以上です。