Blender の Geometory Nodes でマンデルブロ集合

こんにちは｜こんばんは。カエルのアイコンで活動しております @kyamaz です。

はじめに

数学的な対象を Blender の Geometory Nodes を使って扱う方法の紹介は動画ではありますが、Qiitaのエントリはあまり見かけません。下記のYouTube動画を参考にしてマンデルブロ集合を立体的に描いてみましょう。

本稿を参考に Geometory Nodes を通すと下記のようなモデルが描けます。参考にした動画では、マンデルブロ集合特有の縞模様になる色付けやアニメーションまで解説がありますが、ここではモデリングの解説記事になります。

（Cameraの情報：Location X=6m,Y=-5m,Y=4m; Rotatuin X=60°,Y=0°,Z=50°／Lightの情報：Sun）

Blender Geometry Nodes で描く

まず最初に、Scene Collection に Plane Mesh を追加します。[3D Viewport - Object Mode] にて「Add->Mesh->Plane」で追加し、[Outline - ViewLayer] にて名前を「mandelbrot」に変更しておきます。
このオブジェントを選択した状態で [Geometory Node Editor - Modifier] の「+NEW」でモディファイアを追加し、この名前を [Properties] にて「mandelbrot_displace」としておきます。

Grid を準備する

複素平面をXY軸にマッピングするためのGridを準備します。いくつかの定数を次のように定めて利用します。

• SizeX：PlaneのX軸のサイズ
• SizeY：PlaneのY軸のサイズ
• VertecesXY：PlaneをGridにする分割数
• Scale：倍率（１未満で指定するとZoomIn、１以上でZoomOut）
• C0：描画中心の複素数の座標（細かく指定できるように小数点以下３桁ずつをC0_upperとC0_lowerで指定、$c_0=0.256679+0.000875 i$）

次の「Named Attribute」にそれぞれの定数の値を保存します。

• gridsize_x :: Float <- SizeX
• gridsize_y :: Float <- SizeY
• scale :: Float <- Scale
• c0 :: Vector <- C0_upper and C0_lower
• uv_map :: Vector <- Gridより（本稿では利用しない）

パラメーターを初期化する

GridのなかのPointごとに処理されますが、そのPointに対応する複素数を上記の定数を使って求め、「Named Attribute」の c :: Vector にその値を保持します。また変数 z :: Vector の初期値にも c を代入しておきます。

その前に、繰り返し回数の iteration_count :: Integer と、発散するかのフラグ isIn :: Boolean も初期化しています。

ループで計算処理を行う

前のキャプチャの一番右にある Iterations は階層的に処理を記述しています。次の２つのキャプチャのように。Iterations には iterations_groupを 10 回分繰り返し、その中で Iteration を更に10 回分繰り返すようにします。つまり、10 × 10 = 100 回の繰り返し処理となっております。

z^2+c を計算する

$ f(z) = z^2+c $ を計算するパートは次のようになります。escape conditionにあるように、isIn フラグと複素数 z の length $|z|<2$ かどうかで処理を分けています。どちらも真（true）のときは、

• iteration_count を +1 する
• z を z^2+c の計算結果に変更する

の処理をします。いずれかが偽（false）のときには、isIn を偽 false にして、それ以外（iteration_countとzの値）は変更しません。

このPointごとに計算した値を確認したい場合は、次のキャプチャのよりに [Spreadsheet - Evaluated] にて確認することができます。

繰り返し回数を高さに反映する

$|z|<2$を満たさなくなるまでの繰り返し回数iteration_countを Grid の Point のオフセットとして計算します。smooth coloringと shader preparation で、そのオフセットの元となる値を求めています。
displace のなかの [Set Position] で Offset を設定しています。最後に、 [Set Shade Smooth] で表面をスムーズにする処理を行い、完成です。

オフセットを求める際に、次のような計算を行なって、iteration_countに足しています。zの値を使うことでより滑らかになるようです。

以上で、Geometory Nodes で設定する全体像となります。

おわりに

は Blender がほぼ初心者でショートカット等の操作が頭に入っていないため、作成にはとても時間がかかってしまいましたが、試行錯誤しながら作成していけますし、数学の対象を 3D で表すのには、Blender は楽しいツールだと感じました。また他にも Python コードも使えますので、[Scripting] でも似たようなモデリングも可能ではないかと思います。本稿とは違う手法を試してみるのも面白いのではないでしょうか。

本稿の環境

本稿のために使用した環境は以下となります。

• macOS: Sonoma 14.5 (chip: Apple M1)
• Blender: 4.2.0
• PYTHON INTERACTIVE CONSOLE 3.11.7 [Clang 15.0.0]

ご一読いただきまして有り難うございます。
（●）（●） Happy Hacking!
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