Vue.js + axios でヘッダーにログイン情報を毎回セットする。

plugin を自作して axios の create() と interceptors() を使ってラップした http plugin を作ると良いかもしれません。

src/plugins/http.ts

import _Vue from 'vue';
import axios from 'axios';

export default {
  install(Vue: typeof _Vue): void {
    const http = axios.create({
      // URL は環境変数とかで変えられるにする
      baseURL: 'http://localhost:3000/',
      timeout: 10000,
    });
    http.interceptors.request.use((config: any) => {
      // $stores.auth.show に認証情報が入っているとする
      config.headers = Vue.prototype.$stores.auth.show;
      return config;
    });
    Vue.prototype.$http = http;
  },
};

Typescript で書いているため、上記 plugin の型ファイルを *.d.ts という拡張子にしてどこかに置きます。

src/types/http.d.ts

import Vue from 'vue';
import { AxiosStatic } from 'axios';

declare module 'vue/types/vue' {
  interface Vue {
    $http: AxiosStatic;
  }
}

あとは main.ts のどこかに下記を書きます。
すると、自作 plugin が使えるようになります。

src/main.ts

// 略

import http from '@/plugins/http';
Vue.use(http);

認証情報の store はこんなイメージです。
vuex-module-decorators を使っています。

src/stores/AuthStore.ts

import Vue from 'vue';
import { Module, Mutation, VuexModule } from 'vuex-module-decorators';
import LoginInterface from '@/interfaces/LoginInterface';
import { AuthStoreInterface } from '@/interfaces/StoresInterface';
import { AuthResponseInterface, ErrorResponseInterface } from '@/interfaces/ResponseInterface';

@Module({ name: 'auth' })
export default class AuthStore extends VuexModule implements AuthStoreInterface {
  public token = '';
  public user_id  = 0;

  public get show(): object {
    return {
      Authorization: `Token ${this.token}`,
      'User-Id': this.user_id,
    };
  }

  @Action
  public create(users: LoginInterface): void {
    Vue.prototype.$http.post('/users/auth', { user: users })
    .then((res: AuthResponseInterface): void => {
      this.set_token(res.data.token);
      this.set_user_id(res.data.id);
    })
    .catch((err: ErrorResponseInterface): void => {
      // エラー処理
    });
  }

  @Mutation
  private set_token(token: string): void {
   this.token = token;
  }

  @Mutation
  private set_user_id(user_id: number): void {
    this.user_id = user_id;
  }
}

そうすると Store 内でVue.prototype.$http.get()やVue.prototype.$http.post()すると AuthStore のログイン情報を毎回見に行ってくれます。
vue ファイルから呼び出す際は this.$http.get()やthis.$http.post()でリクエストできます。

もし vuex-persist を使っていれば、リロードしても消えません。