つまらないことだが、たまたま放送大学でやっていたので、メモっておく。
（知っているとちょっと得したような気分になる小ネタ？)
arctan(x) のマクローリン展開
微分すると、
$$\frac{d}{dx} \ arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$$
ここで右辺をよく見ると これは公比 $-x^2$ の等比級数で表せるから、
$$
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx} \ arctan(x) &=& \frac{1}{1+x^2} \\
&=& 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...
\end{eqnarray}
$$
これを $x$ で積分。 $arctan(0)=0$ だから
$$
arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
$$
と、簡単にマクローリン展開できてしまった。賢い！！
出典
- 放送大学テレビ 非ユークリッド幾何と時空（'15） 第4回