フーコーの振り子体感キット？ #数学

概要

フーコーの振り子の動き（振動面が回転する様子）を体感する？　簡単な紙細工とGIFアニメを作ってみました。

English abstract

紙細工の作り方

画像を印刷、紙を太線で切り抜いて、まんなかの開いた円板を作る
0°の左の太線にもハサミを入れる
0°の線を例えば 50°の破線の上に重なるように紙を曲げて、クリップなどで固定する。上部を切り取った円錐面ができる
- 目盛は緯度（北緯）を示す。緯度をかえて試してみてください
- まんなかが開いているのは単に曲げやすくするためです

組み立て	完成写真

（あんまり面白くないけど）見方・遊び方

静止系から見た動き

作った円錐の上部（北）を上から見て、左回り（西から東）で順に矢印を見ていきます。
緯度 = 50°では一周すると、矢印は左回りに約90°回転することが分かります。

正確には $2 \pi (1-sin(緯度)) ラジアン$ で 84.2°
なお一周したあとは、上にある0°の面でなくて下に隠れている面に続きます（すぐ終わっちゃうけど）

これが静止系から見たフーコーの振り子の回転の様子です。

みかけの動き

こんどは円錐を固定し、自分が左回り（西から東）に回りながら、正面にくる矢印を見ていきます。
（不精な方は、自分は動かずに円錐を右回り（東から西）に回して、正面にくる矢印を見ていく）

緯度 = 50°では一周すると、矢印は右回りに約270°回転することが分かります。

正確には $- 2 \pi sin(緯度) ラジアン$ で -275.8° （マイナスは右回りを示す）
ちなみに、フーコーの振り子の公開実験が行われたパリの緯度は北緯48度51分44秒

これが地表に固定された観測者から見たときのフーコーの振り子の回転の様子、すなわちみかけの動きです。

3D アニメ

北緯50°での振り子の回転の様子の GIF アニメです。（描画は２周だけ、あとは繰り返しなので境目で不連続になる）

アニメが止まっている場合は「画像だけを別タブ/ウインドウに表示」して、リロードしてみてください。

説明

緯度＝９０°(北極) の場合

北極では地面は地軸と直交した平面内で回転する
慣性により振動面の向きが保たれるので、振り子は静止系に対しては回転せず、
単に平行移動 する

一般の緯度の場合

一般の緯度では、地面は地軸に対して一定の角度（90° - 緯度）だけ傾いて地軸のまわりを回転する
従って振り子は円錐面内で動いていく

振り子はこの円錐面内で 平行移動 していく、と考えられる
- もちろん力学的な現象であるフーコーの振り子の動きと、数学・微分幾何学でいう平行移動 が対応するかは検証する必要がありますが、それはまたの機会に。。。

でも 曲面上の平行移動 は難しい

曲面上の平行移動は、移動させる経路に依存する
測地線とか共変微分とか接続とか。。。

でも、実は円錐面は曲がっていない!

円錐面は平面に展開できる（可展面というらしい、要するにガウス曲率 0）
というわけで、矢印を展開図（扇形）上で平行移動させて、それを円錐面に変換したのが上の紙細工とアニメです

	扇形上で平行移動	それを円錐にすると
50°
30°

扇形・円錐面変換

上の紙細工は以下のように、平たい扇形から円錐面への変換（変形）をやっていることになります。

扇形の半径を $R$、中心角を $\Theta$
これを絞ってできる円錐 の底面の中心角を $\Theta' (> \Theta)$ とする
- $\Theta'=2 \pi$ のときちょうど隙間のない円錐面になる
扇形上の点の極座標を $(r,\theta)$
それに対応する円錐面上の点を円柱座標で $(r', \theta', z')$

とすると

$a = \Theta/\Theta' (< 1)$
$r' = a r$
$\theta' = \theta / a$
$z' = (R - r) \sqrt{1 - a^2}$

この変換は等長変換（長さも角度も変えない変換、伸縮のない変換）なので、扇形状の平行線は円錐面上の平行線に変換されることになります。

To Do:（いつになるか分からへんけど）続編予定

角度欠損（デカルトの不足角の定理）とガウス・ボネの定理（数学）
角度・角速度ベクトル（力学）
フーコーの振り子 or ジャイロスコープの運動（力学）

参考

en.wikipedia "Foucault pendulum"
Oprea, John (1995). "Geometry and the Foucault Pendulum" . Amer. Math. Monthly 102: 515–522.
- これは上の最初の Reference だけど球面で説明している
- でも基本的な理解には 円錐面 で十分、微分も積分も不要なのだ

蛇足

図とアニメは sage で作りました。
sage も python も初心者で、まだいろいろ分からない。。。

３Dアニメで view point を回転するのはどうすりゃいいの ??
- やむなくモデルのほうを回転したが、今度は回転でサイズが変わってしまう
  - しなたないので、フレームサイズを固定するために２点を追加して描画。。。
アニメの~~外枠(frame) が取れない、~~ 奥の円錐面にへんな影。。。なんでやろ？

なおこのアニメには、実はまだ微妙なバグがあって。。。

振り子の最初の向きを「横向き」にすると、へんな動きをします
原因は苦労の上分かったけど、どう直すか悩み中。。

5/14 修正済み

（原因）

平行移動した線分を描くために、以前は2点を展開図上の x,y 座標で求め、それを $r, \theta$ にして円錐面上の２点を求めていた
これだと $\theta$ を求めるのに arc tangent など必要で、どこかで位相 $\theta$ が $2 \pi$ だけ飛んでしまう
ところが $\theta$ の周期は $2 \pi$ だが、$\theta'$ の周期は $2 \pi/a$ なので、ときどきおかしくなっていた

（修正）

２点の x,y 座標でなく、円錐面上の接ベクトルで線分を描くように修正。接ベクトルの計算は sage 君がやってくれる
- それくらい手で計算しなよな、簡単なんだから。ボケるぞ！

    # 円錐面上の線分の plot を得る。 r, len, phiを一定にして th を変化させると緯度上を平行移動した線分が得られる
    # surf: 円錐面の ParametrizedSurface3D
    # r, th: 平面上の極座標での位置
　　 # len, phi: 線分の長さの半分と、線分とX軸とのなす角度
    def pline(self, surf, r, th, len, phi, **args):
        at = (r,th)　　　　　# 平面上の極座標での位置ベクトル
        dir = (cos(phi-th), sin(phi-th))  # 平面上の極座標での phi方向のベクトル
        t1 = surf.tangent_vector(at, dir) # 円錐面の接ベクトルの (x,y,z) 座標
        t1 = t1 / abs(t1)　 # 規格化
        p0 = self.xyz0(at)  # 中心点の  (x,y,z) 座標
        p1 = p0 + len*t1    # 線分の開始点
        p2 = p0 - len*t1    # 線分の終了点
        t = var('t')
        eq = p1*t + p2*(1-t) # (x,y,z) 座標での線分の方程式
        a = parametric_plot3d(eq, (0,0.5), color='red', thickness=5, **args)
        b = parametric_plot3d(eq, (0.5,1), color='green', thickness=5, **args)
        return a+b;

フーコーの振り子 体感キット？

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