ヒント１

元の式を「ある規則」で変形していくだけ。何か気づかない？

$28x_{1} + 13x_{0}$
$= ....$
$= ....$

なおよく覚えていないが、わたしは 5分ほどかかってやっとひらめいた

「ある規則」とは、もちろん「最大公約数」を求たときの有名なアルゴリズム。

というより、この問題のほうがそのアルゴリズムがよく分かる

ヒント２

少しやってみよう。

$28x_{1} + 13x_{0}$
$= (2\times13+2)x_{1} + 13x_{0}$
$= 13(2x_{1}+x_{0}) + 2x_{1}$
$= 13x_{2} + 2x_{1}$

ここで　$(2x_{1}+x_{0})=x_{2}$ と置いた　(この関係は忘れてかまわない）
不思議なことに（もちろん当たり前なんだけど）、係数が小さくなっちゃた！
これを続けていくと‥‥

ヒント３

$28x_{1} + 13x_{0}$
$= 13x_{2} + 2x_{1}$
$= 2x_{3} + x_{2}$
$= 1x_{4} + 0x_{3}$
$= gcd(28,13) $ ～　元の式の右辺

右の係数が 0 になったときの左の係数が、元の係数の最大公約数なので、
$gcd(28,13) =1$ が求まったことになる。

従って $x_{4}=1$、$x_{3}$ は何でもよいので例えば $x_{3}=0$　とする
すると3行目 $2x_{3} + x_{2}=1$ から $x_{2}$ が分かり、2行目から $x_{1}$、 1行目から $x_{0}$ が求まる
要するに $gcd$ が求まったら、今度は下から上へバックトラックしていけばよい
なお　$x_{3}$ の値を変えると別の解が得られる

プログラム作成

では実際にプログラムを作ってみてください。
以下の３通りでやってみるとよい練習になるかも？

表計算　～　Excel, Google spreadsheet など
再帰呼び出しを使う～普通に書いて8ステップ、ワンライナーも可能
再帰呼び出しを使わない

蛇足

これは算数の問題。
$28 \times \bigcirc - 13 \times \bigtriangleup = 1$ なら小学生でも分かる。（3/10 負の数を使わなくても解けるようにマイナスにした）
ガウス少年なら一瞬で解いたであろうが、日本の小・中学生にも解ける子がいるはず。

参考

bezout.js

// returns [x,y,g]
function bezout(a,b,yn, depth) {
    var res;
    if(b == 0) {
        res = [1, yn, a];
    } else {
        var rres = bezout(b, a%b, yn, depth+1);
        var y = (rres[2] - a * rres[1])/b;
        res = [rres[1], y, rres[2]];
    }
    return res;
}

// 実行は a, b と yn に整数を与えて depth=0 で呼び出すだけ
// yn は複数解のうちから１つだけ選択するため。とりあえず 0 でよい
var res = bezout(a,b,yn, 0);