はじめに
「確率空間」を学生に教えるとき，彼我ともに，最も難しく感じるのは，σ加法族（完全加法族，σ代数）のところです．
そこで，有限集合に話を限って，
- σ加法族を自分達で作らせる（本当は有限加法族だけど）
という教え方をするのですが，１つ問題がありまして，解答例を作るのが面倒なのです．
暗算しながら板書していくと，「それだと足りなくないですか」とか言われて「あっ」みたいなことになる．教室総出の人海戦術が始まり，「・・・これでいいんだっけ，まだ足んないか」みたいになって，しばし中断．そういう場面も有意義だとは思うのですが，確証ある正解は，やはり手元に欲しいものです．
というわけで，授業中の答え合わせを念頭に，
- σ加法族（ほんとは有限だけど）の自動生成を，Python3+Sympy で書いてみた！
というのが，この記事の内容です．
確率空間なんて興味ない人のほうが多い気がするので，最低限の基本事項をレビューしながら話を進めます．
基本事項 ー 確率空間とFiniteSet
確率空間というのは，$(\Omega,{\mathcal F},P)$という三つ組のことです．$\Omega$を見本空間（または標本空間），${\mathcal F}$をσ加法族（または完全加法族，σ代数）といいます．$P$は確率です（この記事では扱いません）．
以下では，$\Omega$ と ${\mathcal F}$の具体例と，基本となる実装例を示していきます．
見本空間 Ω
ガチャ（カプセルおもちゃ販売機）を例にとります（講義でそうしてます）．
ガチャからカプセルを取り出す試行を繰り返したところ，次のような種類のマスコットが，ランダムに出てきたとします．$$犬, 鳥, 犬, 人, 人, 鳥, 犬, · · · , 人$$このような試行結果の列を，試行列といいます．試行結果を自然言語で表すと，紙に書くのが大変なので，適当な記号や数字による，ラベリングがなされます．例えば，次のようにできます．$$1:犬,\quad 2:鳥,\quad 3:人$$個々のラベルを，見本といいます．見本を使うと，先の試行列は，次のように簡潔に書けます．$$1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, \cdots, 3$$
次に，確率論では，試行結果の全種類を網羅した見本帳を作ります．例えば，試行結果が$1,2,3$の3種類であるとき，見本帳を次のような集合で表します．
$$\Omega :=\{1,2,3\}$$このような見本帳を表す集合を，見本空間といいます．
この$\Omega$は，SympyのFiniteSetを使って，次のように書くことができます．
from sympy import FiniteSet, EmptySet
Om = FiniteSet(1,2,3)
print('Om = ' + str(Om))
Om = {1, 2, 3}
事象
続いて，確率論では，見本の様々なクラス分けを導入します．
例えば，哺乳類と2足歩行（おもちゃだけど）に興味があるなら，次のようなクラス$A_1$, $A_2$が導入できます．
| 定義 | 人為的な意味付け |
|---|---|
| $A_1:=\{1,3\}$ | 哺乳類 |
| $A_2:=\{2,3\}$ | 2足歩行 |
このようなクラス分けを表す，$\Omega$の部分集合を，事象といいます．
同様に，FiniteSetを使って次のように書けます．
A1 = FiniteSet(1,3)
A2 = FiniteSet(2,3)
print('A1 = ' + str(A1))
print('A2 = ' + str(A2))
A1 = {1, 3}
A2 = {2, 3}
以上を踏まえて，事象$A_1$, $A_2$を要素とする，族（集合を要素とする集合のこと）を考えます．$$F:=\{A_1,A_2\}=\{\{1,3\},\{2,3\}\}$$この族は，考察中の事象のリストを与えることになります．
FiniteSetの引数はFiniteSetでもよいので，次のように書けます．
F = FiniteSet(A1,A2)
print('F = ' + str(F))
F = {{1, 3}, {2, 3}}
σ加法族
ここからが本題です．
確率論にはルールがありまして，事象の集合演算結果もまた，事象でなければなりません．数学でよく目にするルールですね（ある集合の要素間に演算を導入したとき，演算結果がその集合から出てはいけないという）．
残念ながら，さきほどの事象のリスト$F$は，このルールを満たしていません．例えば，$A_1\cap A_2=\{3\}$は，$F$の要素ではありません．
そこで，不完全な$F$を拡張して，完全なる全品リストを得ることを考えます．
そのためのチェックシートが整備されています．
□定義（σ加法族）： $\Omega$の部分集合族$\mathcal F$で，次の3条件を満すものをσ加法族という．
- $\Omega\in{\mathcal F}$.
- $A\in {\mathcal F}\implies \overline A\in {\mathcal F}$.
- $A_1,A_2,\cdots,A_n\in {\mathcal F}\implies A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n\in {\mathcal F}$. ($n$は任意の自然数)
σ加法族は集合演算で閉じる．□
この定義を満たすように，元の$F$を拡張していけば，完全なる$\mathcal F$，すなわちσ加法族が得られます．
ところが，それを手作業で，間違いなく実行するのは，案外大変なのです．
そこで，次のようなプログラムを書いてみた次第です．
実装 ー σ加法族の自動生成
まず，**定義（σ加法族）**を満たすか，チェックする関数を作ります．
def is_sigma_algebra(Om,FF):
is_ok = True
# (条件1)のチェック
is_ok = is_ok and (Om in FF)
# for文で全要素を巡るためのリスト化
elm=list(FF) #リスト化
n=len(elm) #リストの要素数
# (条件2)のチェック
for i in range(0,n):
is_ok = is_ok and (Om-elm[i] in FF)
# (条件3)の全数チェック
for i in range(0,n):
for j in range(i,n):
is_ok = is_ok and (elm[i]+elm[j] in FF)
return is_ok
上述したように，さきほどのFは，チェックを通りません．
print( 'F is sigma-algebra: ' + str(is_sigma_algebra(Om,F)))
F is sigma-algebra: False
次に，**定義（σ加法族）**に出てくる集合演算結果（余事象と和事象）を追加する関数を作ります．
#余事象を追加する関数
def append_complements(Om,F):
result=F
#いまある全ての事象の余事象を追加する
for elm in list(F):
celm = Om - elm
result = result + FiniteSet(celm)
return result
#和事象を追加する関数
def append_unions(F):
result=F
Flist=list(F)
Fn=len(Flist)
#いまある全ての事象の組み合わせの和事象を追加する
for i in range(0,Fn):
for j in range(i,Fn):
result = result + FiniteSet(Flist[i]+Flist[j])
return result
以上を組み合わせて，σ加法族を生成する関数を作ります．
def generate_sigma_algebra(Om,F):
cur_F = F + FiniteSet(Om)
prev_F = EmptySet()
#族が変化しなくなるまでループ
while(prev_F != cur_F):
prev_F = cur_F
#余事象の追加
cur_F = append_complements(Om,cur_F)
#和事象の追加
cur_F = append_unions(cur_F)
return cur_F
さきほどのFで生成されるσ代数を求めてみます．
FF = generate_sigma_algebra(Om,F)
print('FF = ' + str(FF))
print( 'FF is sigma-algebra: ' + str(is_sigma_algebra(Om,FF)))
FF = {EmptySet(), {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
FF is sigma-algebra: True
$\Omega$のべき集合が出てきました．他の例も試してみます．
A3 = FiniteSet(2)
F2 = FiniteSet(A1,A3)
print('F2 = ' + str(F2))
FF2 = generate_sigma_algebra(Om,F2)
print('FF2 = ' + str(FF2))
print( 'FF2 is sigma-algebra: ' + str(is_sigma_algebra(Om,FF2)))
F2 = {{2}, {1, 3}}
FF2 = {EmptySet(), {2}, {1, 3}, {1, 2, 3}}
FF2 is sigma-algebra: True
今度はもう少し小さいですね．
確率変数で生成されるσ加法族
以上の簡単な応用として，確率変数からσ加法族を生成することもできます．下記が実装例です．
おわりに
ざざっと実装してみたのですが，素人の自己流なので，もっと良い方法があるような気もします．
例えば，上述のアルゴリズムには２重ループが何度もでてくるので，事象の数が多いと厳しいですよね．
何かお気づきの点があれば，ぜひぜひご教示ください．よろしくお願いいたします．