Help us understand the problem. What is going on with this article?

確率論のσ加法族(ほんとは有限だけど)の自動生成を Sympy で書いてみた!

はじめに

「確率空間」を学生に教えるとき,彼我ともに,最も難しく感じるのは,σ加法族(完全加法族,σ代数)のところです.
そこで,有限集合に話を限って,

  • σ加法族を自分達で作らせる(本当は有限加法族だけど)

という教え方をするのですが,1つ問題がありまして,解答例を作るのが面倒なのです.
暗算しながら板書していくと,「それだと足りなくないですか」とか言われて「あっ」みたいなことになる.教室総出の人海戦術が始まり,「・・・これでいいんだっけ,まだ足んないか」みたいになって,しばし中断.そういう場面も有意義だとは思うのですが,確証ある正解は,やはり手元に欲しいものです.
というわけで,授業中の答え合わせを念頭に,

  • σ加法族(ほんとは有限だけど)の自動生成を,Python3+Sympy で書いてみた!

というのが,この記事の内容です.

確率空間なんて興味ない人のほうが多い気がするので,最低限の基本事項をレビューしながら話を進めます.

基本事項 ー 確率空間とFiniteSet

確率空間というのは,$(\Omega,{\mathcal F},P)$という三つ組のことです.$\Omega$を見本空間(または標本空間),${\mathcal F}$をσ加法族(または完全加法族,σ代数)といいます.$P$は確率です(この記事では扱いません).

以下では,$\Omega$ と ${\mathcal F}$の具体例と,基本となる実装例を示していきます.

見本空間 Ω

ガチャ(カプセルおもちゃ販売機)を例にとります(講義でそうしてます).

ガチャからカプセルを取り出す試行を繰り返したところ,次のような種類のマスコットが,ランダムに出てきたとします.$$犬, 鳥, 犬, 人, 人, 鳥, 犬, · · · , 人$$このような試行結果の列を,試行列といいます.試行結果を自然言語で表すと,紙に書くのが大変なので,適当な記号や数字による,ラベリングがなされます.例えば,次のようにできます.$$1:犬,\quad 2:鳥,\quad 3:人$$個々のラベルを,見本といいます.見本を使うと,先の試行列は,次のように簡潔に書けます.$$1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, \cdots, 3$$

次に,確率論では,試行結果の全種類を網羅した見本帳を作ります.例えば,試行結果が$1,2,3$の3種類であるとき,見本帳を次のような集合で表します.
$$\Omega :=\{1,2,3\}$$このような見本帳を表す集合を,見本空間といいます.

この$\Omega$は,SympyのFiniteSetを使って,次のように書くことができます.

python3
from sympy import FiniteSet, EmptySet

Om = FiniteSet(1,2,3)
print('Om = ' + str(Om))
実行結果
Om = {1, 2, 3}

事象

続いて,確率論では,見本の様々なクラス分けを導入します.
例えば,哺乳類と2足歩行(おもちゃだけど)に興味があるなら,次のようなクラス$A_1$, $A_2$が導入できます.

定義 人為的な意味付け
$A_1:=\{1,3\}$ 哺乳類
$A_2:=\{2,3\}$ 2足歩行

このようなクラス分けを表す,$\Omega$の部分集合を,事象といいます.

同様に,FiniteSetを使って次のように書けます.

python3
A1 = FiniteSet(1,3)
A2 = FiniteSet(2,3)
print('A1 = ' + str(A1))
print('A2 = ' + str(A2))
実行結果
A1 = {1, 3}
A2 = {2, 3}

以上を踏まえて,事象$A_1$, $A_2$を要素とする,(集合を要素とする集合のこと)を考えます.$$F:=\{A_1,A_2\}=\{\{1,3\},\{2,3\}\}$$この族は,考察中の事象のリストを与えることになります.

FiniteSetの引数はFiniteSetでもよいので,次のように書けます.

python3
F = FiniteSet(A1,A2)
print('F = ' + str(F))
実行結果
F = {{1, 3}, {2, 3}}

σ加法族

ここからが本題です.
確率論にはルールがありまして,事象の集合演算結果もまた,事象でなければなりません.数学でよく目にするルールですね(ある集合の要素間に演算を導入したとき,演算結果がその集合から出てはいけないという).

残念ながら,さきほどの事象のリスト$F$は,このルールを満たしていません.例えば,$A_1\cap A_2=\{3\}$は,$F$の要素ではありません.
そこで,不完全な$F$を拡張して,完全なる全品リストを得ることを考えます.
そのためのチェックシートが整備されています.

□定義(σ加法族): $\Omega$の部分集合族$\mathcal F$で,次の3条件を満すものをσ加法族という.

  1. $\Omega\in{\mathcal F}$.
  2. $A\in {\mathcal F}\implies \overline A\in {\mathcal F}$.
  3. $A_1,A_2,\cdots,A_n\in {\mathcal F}\implies A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n\in {\mathcal F}$. ($n$は任意の自然数)

σ加法族は集合演算で閉じる.□

この定義を満たすように,元の$F$を拡張していけば,完全なる$\mathcal F$,すなわちσ加法族が得られます.
ところが,それを手作業で,間違いなく実行するのは,案外大変なのです.
そこで,次のようなプログラムを書いてみた次第です.

実装 ー σ加法族の自動生成

まず,定義(σ加法族)を満たすか,チェックする関数を作ります.

python3
def is_sigma_algebra(Om,FF):
    is_ok = True

    # (条件1)のチェック
    is_ok = is_ok and (Om in FF)

    # for文で全要素を巡るためのリスト化
    elm=list(FF) #リスト化
    n=len(elm)   #リストの要素数

    # (条件2)のチェック
    for i in range(0,n):
        is_ok = is_ok and (Om-elm[i] in FF)

    # (条件3)の全数チェック 
    for i in range(0,n):
        for j in range(i,n):
            is_ok = is_ok and (elm[i]+elm[j] in FF)

    return is_ok

上述したように,さきほどのFは,チェックを通りません.

python3
print( 'F is sigma-algebra: ' + str(is_sigma_algebra(Om,F)))
実行結果
F is sigma-algebra: False

次に,定義(σ加法族)に出てくる集合演算結果(余事象と和事象)を追加する関数を作ります.

python3
#余事象を追加する関数
def append_complements(Om,F):
    result=F

    #いまある全ての事象の余事象を追加する
    for elm in list(F):
        celm = Om - elm
        result = result + FiniteSet(celm)

    return result

#和事象を追加する関数
def append_unions(F):
    result=F
    Flist=list(F)
    Fn=len(Flist)

    #いまある全ての事象の組み合わせの和事象を追加する
    for i in range(0,Fn):
        for j in range(i,Fn):
            result = result + FiniteSet(Flist[i]+Flist[j])

    return result

以上を組み合わせて,σ加法族を生成する関数を作ります.

python3
def generate_sigma_algebra(Om,F):
    cur_F = F + FiniteSet(Om)
    prev_F = EmptySet()

    #族が変化しなくなるまでループ
    while(prev_F != cur_F):
        prev_F = cur_F
        #余事象の追加
        cur_F = append_complements(Om,cur_F)
        #和事象の追加
        cur_F = append_unions(cur_F)

    return cur_F

さきほどのFで生成されるσ代数を求めてみます.

python3
FF = generate_sigma_algebra(Om,F)
print('FF = ' + str(FF))
print( 'FF is sigma-algebra: ' + str(is_sigma_algebra(Om,FF)))
実行結果
FF = {EmptySet(), {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
FF is sigma-algebra: True

$\Omega$のべき集合が出てきました.他の例も試してみます.

python3
A3 = FiniteSet(2)
F2 = FiniteSet(A1,A3)
print('F2 = ' + str(F2))
FF2 = generate_sigma_algebra(Om,F2)
print('FF2 = ' + str(FF2))
print( 'FF2 is sigma-algebra: ' + str(is_sigma_algebra(Om,FF2)))
実行結果
F2 = {{2}, {1, 3}}
FF2 = {EmptySet(), {2}, {1, 3}, {1, 2, 3}}
FF2 is sigma-algebra: True

今度はもう少し小さいですね.

確率変数で生成されるσ加法族

以上の簡単な応用として,確率変数からσ加法族を生成することもできます.下記が実装例です.

おわりに

ざざっと実装してみたのですが,素人の自己流なので,もっと良い方法があるような気もします.
例えば,上述のアルゴリズムには2重ループが何度もでてくるので,事象の数が多いと厳しいですよね.
何かお気づきの点があれば,ぜひぜひご教示ください.よろしくお願いいたします.

Why do not you register as a user and use Qiita more conveniently?
  1. We will deliver articles that match you
    By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole
  2. you can read useful information later efficiently
    By "stocking" the articles you like, you can search right away
Comments
Sign up for free and join this conversation.
If you already have a Qiita account
Why do not you register as a user and use Qiita more conveniently?
You need to log in to use this function. Qiita can be used more conveniently after logging in.
You seem to be reading articles frequently this month. Qiita can be used more conveniently after logging in.
  1. We will deliver articles that match you
    By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole
  2. you can read useful information later efficiently
    By "stocking" the articles you like, you can search right away