エルボー法とシルエットスコア

この記事は

本記事では、K-Meansクラスタリングにおける適切なクラスタ数 $K$ の決定手法として、
エルボー法 と シルエットスコア を解説し、
Pythonによる実装例と具体的な解釈までをひととおり紹介します。

概要

• クラスタリングの結果は「何個に分けるか」に大きく依存する
• エルボー法：クラスタ内誤差（Inertia）の減少幅に注目して"肘"を探す
• シルエットスコア：クラスター内の一体感と外との分離度を定量化する
• 両者を組み合わせることで、より安定したクラスタ数の判断が可能

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エルボー法とは

1. Inertia（慣性／クラスタ内誤差） を各 $K$ で計算
   $$
   \text{Inertia} = \sum_{i=1}^{n} \min_{j=1..K} |x_i - \mu_j|^2
   $$
2. $K$ を増やすほど必ず下がるが、減少幅は次第に小さくなる
3. グラフ上で「急激に減ったあと平坦になる箇所＝肘（Elbow）」を最適 $K$ の候補とする
4. メリット：直感的、計算も軽量　／　デメリット：明確に折れ曲がりが見えない場合もある

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シルエットスコアとは

1. 各サンプル $i$ に対して
   • $a(i)$：同じクラスタ内の他点との平均距離
   • $b(i)$：最も近い異クラスタとの平均距離
   • シルエット係数
     $$
     s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max(a(i),,b(i))}
     $$
2. 平均シルエットスコア（全サンプルの $s(i)$ の平均）を算出
3. $-1$～$+1$ の範囲で、+1 に近いほど "よく分かれている"
4. メリット：クラスタの質を定量評価できる　／　デメリット：計算量がやや多い

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Pythonでの実装例

from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.metrics import silhouette_score
import matplotlib.pyplot as plt
# --- データの前処理 ---
X_scaled = ...  # 標準化済み特徴量行列
# --- 評価指標の計算 ---
inertia = []
silhouette_scores = []
K_range = range(2, 11)
for k in K_range:
    km = KMeans(n_clusters=k, random_state=42, n_init=10)
    km.fit(X_scaled)
    inertia.append(km.inertia_)
    silhouette_scores.append(silhouette_score(X_scaled, km.labels_))
# --- 結果のプロット ---
plt.figure(figsize=(12,5))
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(K_range, inertia, marker='o')
plt.title('Elbow Method for Optimal K')
plt.xlabel('Number of Clusters (K)')
plt.ylabel('Inertia')
plt.grid(True)
plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(K_range, silhouette_scores, marker='o')
plt.title('Silhouette Score for Optimal K')
plt.xlabel('Number of Clusters (K)')
plt.ylabel('Silhouette Score')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

具体例での解釈

• エルボー法：

  • $K=2 \to 3 \to 4$ の減少が大きく、以降は緩やか
  • "肘" と見なせるのは $K=4$

• シルエットスコア：

  • 平均スコアのピークが $K=4$（約0.43）
  • $K>4$ ではスコアが下がり、クラスタ分離度が低下

• 結論：

  両者とも $K=4$ がもっともバランス良く、過剰分割のリスクも抑えられる最適解

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まとめ

• K-Means のクラスタ数選定には、エルボー法 と シルエットスコア の併用が有効
• エルボー法でざっくり"肘"のあたりを絞り、シルエットスコアで最適値を確かめる流れ
• Python／scikit-learn なら数行のコードで実装可能
• 実務では結果の「解釈しやすさ」や「ドメイン知見」も組み合わせて最終判断しましょう