sinとcosの微分
$sin \theta$と$cos \theta$の微分がどうして逆になるのか謎だったのですが、
図でみるとめっちゃくちゃわかりやすかったので、まとめてみます。
まず、結果をおさらいしておきます。sinとcosの微分はそれぞれ、
$$
\frac{\partial sin \theta}{\partial \theta} = cos \theta,\
\frac{\partial cos \theta}{\partial \theta} = - sin \theta
$$
高校数学の数IIIの範囲らしいのですが、私は文系なのでやった覚えはありません！（いいわけ）
大学院の授業で前提知識として出てきたのですが、なぜ微分するとsinとcosが逆になるのか謎でした。
調べてもいまいちよくわからなかったのですが、図で考えるととてもわかりやすくなりました。
図でみてみる
三角関数でよくみる、半径1の単位円を考えてみましょう。（図書くの難しい...）
ここからが面白かったところです！
実は、赤く囲まれた扇形のような部分は、$\Delta \theta$ を限りなく小さくすると、三角形になります！
できた三角形斜辺の部分は、もともと半径1の円の弧の長さなので、$\Delta \theta$になります。また、高さは $sin(\theta + \Delta \theta) - sin \theta$、底辺は$cos \theta - cos(\theta + \Delta \theta)$になります。
ここで、微分の定義から、
$$
\frac{\partial sin \theta}{\partial \theta} =
\lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{sin(\theta + \Delta \theta) - sin \theta}{\Delta \theta}
$$
なので、右辺は赤い三角形の辺の長さの比で表されることがわかります。
次に、この三角形と相似関係にある別の三角形を探して、この比を簡単に表せないか考えます。
実は、青の三角形が赤の三角形と相似になっています。直角の部分と、$\alpha$とかかれた部分の
角度がそれぞれ等しいことから、これらが相似であることがわかります。（中学校の数学が懐かしい！）
さて、赤と青の三角形をとりだしてみると、求めたかった比が簡単に表されることがわかります。
$$
\frac{sin(\theta + \Delta \theta) - sin \theta}{\Delta \theta} = cos \theta
$$
よって、$sin \theta$ の微分は $cos \theta$になることがわかりました！
同じように、$cos \theta$の微分も、
$$
\frac{cos(\theta + \Delta \theta) - cos \theta}{\Delta \theta} = -sin \theta
$$
と表現できることがわかります！
このように、図で見ると、sinとcosの微分がなぜ逆になるのかがよくわかりました！
tanの微分は？
傾きの変化量を考えると同じように考えられる気がしてるのですが、商の微分の公式ですぐ求められるので、まあいいかなと思っています笑。良いアイディアがあれば教えて下さい:)
参考資料
元ネタはこちらの動画です。動画にするとよりわかりやすいですね！
謝辞
解説してくださった某数学博士の先輩、ありがとうございました！