AWS上に自分のメモようにLaravelの環境を構築してみました。
利用したubuntuのイメージはこちらです。

##Ubuntuにパッケージをインストールする

sudo apt-get install -y language-pack-ja-base
sudo LC_ALL=ja_JP.UTF-8 add-apt-repository ppa:ondrej/php
sudo apt-get update
sudo apt-get install zip unzip
sudo apt-get install -y php7.2 php7.2-fpm php7.2-mysql php7.2-zip php7.2-gd
sudo apt-get install nginx git
sudo apt-get install mcrypt php7.1-mcrypt
sudo apt-get install -y php7.2-mbstring php7.2-xml --force-yes
sudo apt-get install php7.2-curl php7.2-json

##php.iniを編集する
次のコマンドを利用してphp.iniを編集します。

sudo vi /etc/php/7.2/fpm/php.ini

修正する箇所はcgi.fix_pathinfoです。

cgi.fix_pathinfo=0

PHP 7.2 FPMの再起動。

sudo service php7.2-fpm restart

##Nginxの設定
Laravelを設置する場所を/var/www/laravelにします。
ターミナルで以下のコマンドを実行し、フォルダを作成します。

sudo mkdir -p /var/www/laravel

ファイルを編集する前に、nignixのデフォルトの設定箇所/etc/nginx/sites-available/defaultのバッグアップをとります。
ターミナルで以下のコマンドを実行し、バッグアップをとります。

sudo mkdir ~/Backups
sudo cp /etc/nginx/sites-available/default ~/Backups/default

続いて、以下のコマンドを実行してファイルを編集します。

sudo vi /etc/nginx/sites-available/default

編集後

server {
        listen 80 default_server;
        listen [::]:80 default_server ipv6only=on;

        # SSL configuration
        #
        # listen 443 ssl default_server;
        # listen [::]:443 ssl default_server;
        #
        # Note: You should disable gzip for SSL traffic.
        # See: https://bugs.debian.org/773332
        #
        # Read up on ssl_ciphers to ensure a secure configuration.
        # See: https://bugs.debian.org/765782
        #
        # Self signed certs generated by the ssl-cert package
        # Don't use them in a production server!
        #
        # include snippets/snakeoil.conf;

        root /var/www/laravel/public;

        # Add index.php to the list if you are using PHP
        index index.php index.html index.htm;

        server_name 50.50.50.50;

        location / {
                # First attempt to serve request as file, then
                # as directory, then fall back to displaying a 404.
                try_files $uri $uri/ /index.php?$query_string;
        }

        # pass the PHP scripts to FastCGI server listening on 127.0.0.1:9000
        # 末尾が.phpの要求を対象とする設定
        location ~ \.php$ {
                try_files $uri =404;
                fastcgi_split_path_info ^(.+\.php)(/.+)$;
                fastcgi_pass unix:/var/run/php/php7.2-fpm.sock;
                # FastCGIサーバは自動index付与をサポートしていない
                # その為、Nginx側が末尾が"/"だった場合fastcgi_indexの値を末尾に付与する
                fastcgi_index index.php;
                # PHP-FPMに渡されるドキュメントパス
                fastcgi_param SCRIPT_FILENAME $document_root$fastcgi_script_name;
                # その他のFastCGI関連の設定は以下に追加
                include fastcgi_params;
        }

        # deny access to .htaccess files, if Apache's document root
        # concurs with nginx's one
        #
        #location ~ /\.ht {
        #       deny all;
        #}
}

nginxの再起動

sudo service nginx restart

##Laravelのプロジェクトを作成
最初にcomposerの環境を作成します。

cd ~
// 管理者になりcomposerをインストールする
sudo su
curl -sS https://getcomposer.org/installer | php
mv composer.phar /usr/local/bin/composer

Laravelのプロジェクトの作成

sudo composer create-project laravel/laravel /var/www/laravel

作成したプロジェクトの権限まわりの設定

sudo chown -R :www-data /var/www/laravel
sudo chmod -R 775 /var/www/laravel/storage

追記
プロジェクトを作り直したいときは以下のコマンドで削除して、再作成します。

sudo rm -rf /var/www/laravel
sudo mkdir /var/www/laravel

##確認
作成したプロジェクトをhttp://server_domain_or_IPで確認してみてください。
ページにLaravelと表示されるはずです。

参考元
https://gist.github.com/santoshachari/87bf77baeb45a65eb83b553aceb135a3
*こちらをほぼそのまま利用させていただきました。ただ、PHPのパッケージは最新のものに変更しています。