数検１級 (7) 重積分

問題

$D = \left\{ (x,y) \,|\, x^2 + y^2 \le 1 \right\}$ と置くとき、次の重積分を求めなさい。

$$
\int\int_D \sqrt{ \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2} } dx \, dy
$$

知識

重積分における置換

\begin{align}
x &= f(u,v) \\
y &= g(u,v)
\end{align}

という置換を行う場合、微小積の変換は次のようになる。

dx\,dy = \mathrm{det}(\mathrm{J})\, du\,dv

ただし、$\mathrm{J}$ はジャコビアン行列。

\mathrm{J} = 
\begin{bmatrix} f_u & f_v\\ g_u & g_v \end{bmatrix} 

線形変換の場合

\mathbf{x} = \mathrm{A} \mathbf{u}

なら、ジャコビアンは $A$ 自体になるので、

d\mathbf{x} = \mathrm{det}(\mathrm{A})\, d\mathbf{u}

ただし、$d\mathbf{x}$ は微小積とする。

極座標平面の場合

\begin{align}
x &= r\cos\theta \\
y &= r\sin\theta
\end{align}

という置換を行うので、

\mathrm{J} = 
\begin{bmatrix} 
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{bmatrix} 

したがって、

\mathrm{det}(\mathrm{J}) = r

解答

被積分関数が $x^2 + y^2$ のみの関数なので、極座標変換をすると $r$ のみの関数となり良さそう。

\begin{align}
x &= r\cos\theta \\
y &= r\sin\theta
\end{align}

• 微小積の変換：
  $$
  dx \, dy = r\,dr \,d\theta
  $$

• 積分範囲：

  • $r: 0\to 1\;\;\;$ （$x^2+y^2 \le 1$ より）
  • $\theta: 0\to 2\pi\;\;\;$ (特に制約がないので、一周全体)

\begin{align}
\int\int_D \sqrt{ \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2} } dx \, dy
&= \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} \sqrt{ \frac{1-r^2}{1+r^2} } r\,dr\,d\theta \\
&= 2\pi\int_{0}^{1} \sqrt{ \frac{1-r^2}{1+r^2} } r\,dr && \text{（$\theta$ で積分）} \\
&= 2\pi\int_{0}^{1} \frac{1-r^2}{\sqrt{1 - r^4}} r\,dr && \text{（分子を有理化）}
\end{align}

ここで、$r^2 = \sin t$ と置換する。

• 微小変化：
  $$r\,dr = \frac{\cos t}{2} dt$$

• 積分範囲

  • $r: 0\to 1$ のとき、$t: 0 \to \frac{\pi}{2}$.

\begin{align}
2\pi\int_{0}^{1} \frac{1-r^2}{\sqrt{1 - r^4}} r\,dr
&= 2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin t}{\sqrt{1 - \sin^2 t}} \cdot \frac{\cos t}{2} dt\\
&= 2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin t}{\cos t} \cdot\frac{\cos t}{2} dt \\
&= \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin t) \,dt \\
&= \pi \left[t + \cos t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \pi \left(\frac{\pi}{2} - 1\right).
\end{align}

感想

• 極座標変換は覚えたほうが良さそう。
• 積分計算は綱渡り。