問題
次の級数の和を求めなさい。ただし正の整数 $n$ に対して $n!$ は $n$ の階乗を表します。
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!}$$
知識
$e^x$ のマクローリン展開：
\mathrm{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
したがって、$x=1$ を代入することで、
\mathrm{e} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}1
解答
既知の級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \mathrm{e}$ に寄せるため、次のように変形する。
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!}
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2-n+n}{n!} \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} \\
&= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} && \text{（第１項は $n=1$ でゼロ）} \\
&= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} \\
&= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} && \text{（$m=n-2, k=n-1$ と定義）}\\
&= \mathrm{e} + \mathrm{e} \\
&= 2 \mathrm{e}.
\end{align}
感想
- 無限級数は一般的な方針がないから怖い
- テイラー展開でちょうどいいものを探す