数検１級 (3) 代数方程式

問題

次の方程式を解きなさい。

$$
x^4 - 4x^3 + x^2 - 3 = 0
$$

知識

因数定理

方程式を $f(x) = 0$ として（$f(x)$ は多項式）、関数 $f$ にめぼしい値を代入してみてゼロになる点を探す。$f(a) = 0$ となる $a$ が見つかった場合、$f(x) = (x-a) g(x)$ の形に因数分解できて、今度は $g(x) = 0$ の解を探す問題になる。

解の予測

適当な値を代入して、$f(a) < 0$ かつ $f(b) > 0$ となった場合、$f(x)$ が連続関数であるため、$a$ と $b$ の間に必ず１つの解が存在する。

４次式を２次式の形を予測して因数分解（←NEW）

４次式を、２次式の形を予測して２つに因数分解できることがある。

解答

$f(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 - 3$ とおく。適当な値を代入すると、$f(0) = -3$, $f(-1) = 3$ であるので、区間 $(-1, 0)$ に１つの解が存在する。$f(-\frac{1}{2}) = - \frac{35}{16}$, $f(-\frac{2}{3})=-\frac{95}{81}$ と、有理数解がなかなか見つからない。

そこで、２次式への因数分解を考える。定数項が $-3$ なので、

$$(x^2 + a x - 1)(x^2 + b x +3)\;\;\;\;\text{(1)}$$
と
$$(x^2 + a x + 1)(x^2 + b x -3)\;\;\;\;\text{(2)}$$
のパターンを検討する（成功する保証はない）。

(1) を展開すると、

$$
x^4 + (a+b) x^3 + (ab+2) x^2 + (3a-b) x - 3
$$

$f(x)$ との係数合わせにより、

\begin{align}
a+b &= -4 \\
ab+2 &= 1 \\
3a-b &= 0 
\end{align}

１・３番目の式から $a=-1, b=-3$ を得るが、これは２番目の式に矛盾する。したがって (1) の形の分解はできない。

(2) を展開すると、

$$
x^4 + (a+b) x^3 + (ab-2) x^2 + (b-3a) x - 3
$$

$f(x)$ との係数合わせにより、

\begin{align}
a+b &= -4 \\
ab-2 &= 1 \\
-3a+b &= 0 
\end{align}

１・３番目の式から $a=-1, b=-3$ を得られ、これは２番目の式満たす。したがって、

$$
f(x) = (x^2-x+1)(x^2-3x-3) = 0
$$

それぞれの２次方程式を解の公式で解き、

$$
x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}, \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}
$$