問題

$\omega$ を $x^3=1$ の虚数解の１つとするとき、次の行列式 $D$ の２乗の値を求めなさい。

D = 
\begin{vmatrix}
1 &\omega &\omega^2  & 1    \\
\omega& \omega^2 & 1 & 1  \\
\omega^2 & 1 & 1 &\omega \\
1 & 1 &\omega &\omega^2
\end{vmatrix}

知識

円分多項式（←NEW）

$x^n - 1 = 0$ は、次のように因数分解できる。

(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + 1) = 0

したがって、$z \not= 1$ が $x^n = 1$ の解なら、$(z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots + 1)=0$ を満たす。

行列式

２次元・３次元の行列式

２次元

\mathrm{det}
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{bmatrix}

= ad - bc.

３次元（サラスの方法）

\mathrm{det}
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i 
\end{bmatrix}

= (aei + bfg + cdh) - (afh + bdi + ceg)

４次元以上の行列式は計算が大変なので、工夫を凝らしてゼロをたくさん作ったり、低次の行列式に帰着させたりする。

行・列変形の効果

転置しても行列式の値は変わらない。
ある列（行）の定数倍を他の列（行）に加えても、行列式の値は変わらない。
ある列（行）に定数をかけると、行列式の値も定数倍になる。
ひと組の列（行）を入れ替えると、行列式の値の符号が変わる。

三角行列・ブロック三角行列

三角行列の行列式は、対角要素の積に等しい。

\mathrm{det}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & . & . & . \\
& \lambda_2 & . & . \\
&& \ddots & .  \\
&&& \lambda_n  
\end{bmatrix}

= \prod_{i=1}^{n} \lambda_i

ブロック三角行列の行列式は、対角ブロックの行列式の積に等しい。

\mathrm{det}
\left[
\begin{array}{c|c}
\mathrm{\large{A}} & \mathrm{\large{B}} \\
\hline
 & \mathrm{\large{D}}
\end{array}
\right]

= \mathrm{det} \mathrm{A} \cdot \mathrm{det} \mathrm{D}

ラプラス展開

$\mathrm{A}$ の行列式は、ある行（または列）で次のように分解できる:


\begin{align}
\mathrm{det} \mathrm{A} 
&= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+k} a_{i,k} M_{i,k}  \;\; \text{（列を固定）}\\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{k+j} a_{k,j} M_{k,j}  \;\; \text{（行を固定）}
\end{align}

ただし、$M_{i,j}$ は$A$ の $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列の行列式。

ある行または列にゼロがたくさんあると、この展開で多くの項が消える。
符号はインデックスの和が偶数なら正、奇数なら負。

解答

\begin{align}
D 
&= 
\begin{vmatrix}
1 &\omega &\omega^2  & 1    \\
\omega& \omega^2 & 1 & 1  \\
\omega^2 & 1 & 1 &\omega \\
1 & 1 &\omega &\omega^2
\end{vmatrix} \\
&&\text{列２から$\omega \times$列１を引く、列4から$\omega \times$列3を引く} \\
&= 
\begin{vmatrix}
1 & 0 &\omega^2  & 0    \\
\omega & 0 & 1 & 1-\omega  \\
\omega^2 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1-\omega &\omega & 0
\end{vmatrix} \\
&&\text{列２でラプラス展開}\\
&= (1-\omega) 
\begin{vmatrix}
1 & \omega^2  & 0    \\
\omega  & 1 & 1-\omega  \\
\omega^2  & 1 & 0 
\end{vmatrix} \\
&&\text{サラスの方法} \\
&=(1-\omega)\left[ \omega^4(1-\omega) - (1-\omega) \right] \\
&=(1-\omega)\left[ \omega(1-\omega) - (1-\omega) \right] \\
&=(1-\omega) (1-\omega)(\omega-1) \\
&=-(1-\omega)^3 \\
&=- (1 - 3\omega + 3\omega^2 - \omega^3)\\
&=3\omega (1-\omega) 
\end{align}

両辺を２乗して、

\begin{align}
D^2 
&=9\omega^2 (1-\omega)^2 \\
&=9\omega^2 (1-2\omega+\omega^2) \\
&&\text{$\omega^2+\omega+1=0$ を用いて} \\
&=9\omega^2 (-3\omega) \\
&=-27.
\end{align}

感想

高次の行列式の基本はとにかくゼロをたくさん作ってラプラス展開に持ち込むか、ブロック三角を作るかだと思う。
$\omega$ の計算時に、$\omega^3=1$ だけでなく $\omega^2+\omega+1=0$ を忘れないようにしたい。