確率パズル

Gigazineの記事数学者の考案した「一見シンプルだが直感に反する確率パズル」がインターネット上で議論にについての考察です．
この記事から問題を引用します．「100個のボールが入ったつぼがあります。そのうちn個が赤で、100-n個が緑です。ただし、nは0～100の間で一様分布しています。つぼからボールをランダムに1つ取り出したところ、赤でした。それを捨ててから、残り99個からボールを選ぶとき次に引くボールの色はどれ？」

とりあえず，Pythonでシミュレーションを行う愚直にプログラムを書いてみました．

import random


def process_list_until_r(m):
    while True:
        i = random.randint(0, m)
        balls = ["r"] * i + ["g"] * (m - i)

        index = random.randint(0, len(balls) - 1)
        first_choice = balls[index]
        if first_choice == "r":
            balls.pop(index)
            break
    index = random.randint(0, len(balls) - 1)
    return balls[index]


m = 100
red = 0
green = 0
for _ in range(100000):
    color = process_list_until_r(m)
    if color == "r":
        red += 1
    else:
        green += 1

print(f"red={red}, green={green}")

確率計算

何度実行しても，redである確率はおおよそ$\frac{2}{3}$となります．ボールの総数$m$を変えても，結果として約$\frac{2}{3}$となるため，$m$の値に依存せず，この確率は一定で$\frac{2}{3}$であると予想されます．そこで，まず最も単純なケースとして，$m=2$の場合を考察します．

つぼの中に2個のボールが入っている場合，そのボールの色の組み合わせは次の3通りです：$[g,g]$，$[r,g]$，$[r,r]$．この中から等確率で1つのつぼがまず選ばれます．この状況を，3種類のつぼが用意され，その中から等確率で1つのつぼを選ぶと考え直しても同じです．さらには，6個のボールの中から等確率で最初の1つを選ぶとしても，同じです．選んだボールがgreenならばやり直し，redが選ばれるまで繰り返します．最終的には，3個のredのボールから等確率で1つを選んだ場合と同じ状況となります．区別のために，ボールの種類を$[g_0,g_1]$、$[r_0,g_2]$、$[r_1,r_2]$と表すことにします．2個目がredであるためには，1個目で$r_1$または$r_2$が選ばれる必要があります．したがって，この確率は$\frac{2}{3}$となります．

これを一般化して，$m$が2個以上の場合について確率を計算します．$m+1$個のつぼがあり，各つぼ$i$番目($0\leq i\leq m$)には，redのボールが$i$個，greenのボールが$m-i$個入っています．ボールの総数は$m(m+1)$個で，そのうちちょうど半分の$M=\frac{m(m+1)}{2}$がredです．この中から等確率で1つのredボールを選び，それが$i$番目のつぼのボールである確率は$\frac{i}{M}$です．そして，そのredボールを取り除き，同じつぼから2個目のボールを$m-1$個の中から選んだ時，そのボールがredである確率は$\frac{i-1}{m-1}$です．この確率の積により，2個目のボールがredである確率は次のように計算できます．

\begin{align}
\sum_{i=1}^{m}\frac{i}{M}\cdot \frac{i-1}{m-1}
&=\frac{1}{M(m-1)}\sum_{i=1}^{m}i(i-1)\\
&=\frac{2}{(m-1)m(m+1)}\left(\sum_{i=1}^{m}i^2-\sum_{i=1}^{m}i\right)\\
&=\frac{2}{(m-1)m(m+1)}\left(\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}-\frac{m(m+1)}{2}\right)\\
&=\frac{2}{(m-1)m(m+1)}\cdot\frac{(m-1)m(m+1)}{3}\\
&=\frac{2}{3}
\end{align}

このようにして，$m$の値にかかわらず，確率は$\frac{2}{3}$であることが示されます．