はじめに
Rを学びたいのStep18です。今回は不偏分散について学びます。
不偏分散とは何か？
サンプルデータのばらつきを表す指標である。全体のばらつきがわからない場合、サンプルデータの分散を流用して利用します。
\begin{align}
s^2 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \\
& s^2 \text{ :不偏分散}, \\
& n \text{ : データの個数}, \\
& x_i \text{:各データの値}, \\
& \bar{x} \text{:サンプル平均}.
\end{align}
不偏分散を求める問題
あるクラスの5人のテストの点数は次の通りです。
| 生徒 | 点数 ( x ) |
|---|---|
| A | 60 |
| B | 70 |
| C | 80 |
| D | 90 |
| E | 100 |
解答
- サンプル平均 \bar{x} を計算する
平均は次の公式で計算します：
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 80 + 90 + 100}{5} = 80
- 偏差の２乗を算出
| 生徒 | 点数 ( x ) | 偏差 ( x_i - \bar{x} ) | 偏差の二乗 ( (x_i - \bar{x})^2 ) |
|---|---|---|---|
| A | 60 | ( 60 - 80 = -20 ) | ( (-20)^2 = 400 ) |
| B | 70 | ( 70 - 80 = -10 ) | ( (-10)^2 = 100 ) |
| C | 80 | ( 80 - 80 = 0 ) | ( 0^2 = 0 ) |
| D | 90 | ( 90 - 80 = 10 ) | ( 10^2 = 100 ) |
| E | 100 | ( 100 - 80 = 20 ) | ( 20^2 = 400 ) |
- 偏差の２乗の総和を算出
\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = 400 + 100 + 0 + 100 + 400 = 1000
- 不偏分散の公式に代入
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
s^2 = \frac{1}{5-1} \cdot 1000 = \frac{1}{4} \cdot 1000 = 250
よって、不偏分散は250である。
Rで実装する
# 点数データをベクトルとして定義
scores <- c(60, 70, 80, 90, 100)
# サンプル平均を計算
mean_score <- mean(scores)
# 偏差を計算
deviations <- scores - mean_score
# 偏差の二乗を計算
squared_deviations <- deviations^2
# 偏差の二乗の合計
sum_squared_deviations <- sum(squared_deviations)
# 不偏分散を計算
n <- length(scores) # サンプルサイズ
unbiased_variance <- sum_squared_deviations / (n - 1)
# 結果を表示
cat("サンプル平均:", mean_score, "\n")
cat("偏差の二乗の合計:", sum_squared_deviations, "\n")
cat("不偏分散:", unbiased_variance, "\n")
実行結果
~/develop/R/r_study/unbiased_deviations (main)$ Rscript test.R (base)
サンプル平均: 80
偏差の二乗の合計: 1000
不偏分散: 250