統計検定2級 水準間平方和、残差平方和

はじめに

今回は統計検定2級の範囲の水準間平方和、残差平方和に関して学びます。分散分析（ANOVA）を勉強していると出てくる「水準間平方和」と「残差平方和」。 なんだコレって、なったので記事にしています。

✅ 「分散分析」って何？

複数のグループの平均値に差があるかどうかを調べる統計手法です。

たとえば：

• A社、B社、C社の平均売上に差があるか？
• 3種類の薬の効果に違いがあるか？

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🟦 水準間平方和とは？

✔ グループどうしの「平均の差」

水準間平方和は、「グループの平均値が、全体平均からどれくらいズレているか」を表します。

つまり、「グループ間に差があるか？」を数値化するためのものです。

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✔ 具体例でイメージ！

クラス	平均点	全体平均との差	差の2乗 × 人数
A	60点	-10点	10² × 3 = 300
B	80点	+10点	10² × 2 = 200

水準間平方和 = 300 + 200 = 500

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✔ 数式で書くと

$$
\text{水準間平方和} = \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{y}_j - \bar{y})^2
$$

• $k$：グループの数
• $n_j$：グループ $j$ のデータ数
• $\bar{y}_j$：グループ $j$ の平均
• $\bar{y}$：全体の平均

---

✔ 名前の意味を分解すると

用語	意味
水準	グループ（例：クラスや商品タイプなど）
間	グループとグループの“あいだ”
平方	差を2乗する（マイナスを打ち消すため）
和	全部足す

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🟨 残差平方和とは？

✔ 同じグループ内での「ばらつき」

残差平方和は、「各データが、そのグループの平均からどれだけズレているか」を表します。

つまり、「グループ内で点数がバラついているか？」を数値で見ます。

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✔ 「残差」ってなに？

残差＝ 実際の値 − グループの平均
たとえば：

学生	クラス	点数	クラス平均	残差
A	1組	70点	60点	+10点
B	1組	50点	60点	-10点

残差平方和は、この残差の2乗を全部足したものです。

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✔ 数式で書くと

$$
\text{残差平方和} = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_j} (y_{ij} - \bar{y}_j)^2
$$

• $y_{ij}$：グループ $j$ の $i$ 番目のデータ
• $\bar{y}_j$：グループの平均

---

✔ 名前の意味を分解すると

用語	意味
残差	実際の値と、グループ平均の差
平方	差を2乗する（マイナスを打ち消すため）
和	全部足す

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🔁 2つの平方和の違いまとめ

用語	見ているもの
水準間平方和	グループどうしの平均の差
残差平方和	グループ内のばらつき（ズレ）

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🔧 全体の関係式

分散分析では、全体のバラつき（全体平方和）を次のように分けます：

$$
\text{全体平方和（SST）} = \text{水準間平方和（SSB）} + \text{残差平方和（SSE）}
$$

✅ 問題

ある学校で、A組・B組・C組の3クラスについて、テストの点数を以下のように調査しました。

クラス	点数
A組	60, 65, 70
B組	80, 75
C組	50, 55, 60

このデータをもとに、以下の値を求めなさい。

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❓ 計算するもの

1. 各クラスの平均点、および全体の平均点
2. 水準間平方和（SSB）
3. 残差平方和（SSE）

🧮 解き方と解説：水準間平方和・残差平方和の計算

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✅ ステップ①：各クラスと全体の平均を出す

クラス	点数	合計	人数	平均
A組	60, 65, 70	195	3	65.0
B組	80, 75	155	2	77.5
C組	50, 55, 60	165	3	55.0
全体	合計 = 195 + 155 + 165 = 515		合計 = 8人	全体平均 = 515 ÷ 8 = 64.375

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✅ ステップ②：水準間平方和（SSB）を求める

$$
SSB = \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{y}_j - \bar{y})^2
$$

• A組：$3 \times (65.0 - 64.375)^2 = 3 \times (0.625)^2 = 1.171875$
• B組：$2 \times (77.5 - 64.375)^2 = 2 \times (13.125)^2 = 344.53125$
• C組：$3 \times (55.0 - 64.375)^2 = 3 \times (-9.375)^2 = 263.671875$

合計：
$$
SSB = 1.171875 + 344.53125 + 263.671875 = \mathbf{609.375}
$$

---

✅ ステップ③：残差平方和（SSE）を求める

$$
SSE = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_j} (y_{ij} - \bar{y}_j)^2
$$

各クラスで計算：

• A組（平均65）
  $(60 - 65)^2 + (65 - 65)^2 + (70 - 65)^2 = 25 + 0 + 25 = 50$

• B組（平均77.5）
  $(80 - 77.5)^2 + (75 - 77.5)^2 = 6.25 + 6.25 = 12.5$

• C組（平均55）
  $(50 - 55)^2 + (55 - 55)^2 + (60 - 55)^2 = 25 + 0 + 25 = 50$

合計：
$$
SSE = 50 + 12.5 + 50 = \mathbf{112.5}
$$

---

✅ 最終結果まとめ

指標	値
全体平均	64.375
水準間平方和 SSB	609.375
残差平方和 SSE	112.5

---

✅ 補足：全体平方和も求められる

$$
SST = SSB + SSE = 609.375 + 112.5 = \mathbf{721.875}
$$

# 📌 日本語フォントインストール（Google Colab専用）
!apt-get -y install fonts-ipafont-gothic > /dev/null

# ライブラリのインポート
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties

# 日本語フォント設定（明示的に使用）
jp_font = FontProperties(fname="/usr/share/fonts/opentype/ipafont-gothic/ipag.ttf")

# データ定義
data = {
    'A': [60, 65, 70],
    'B': [80, 75],
    'C': [50, 55, 60]
}

# 平均・全体平均
class_means = {k: np.mean(v) for k, v in data.items()}
all_scores = [score for scores in data.values() for score in scores]
overall_mean = np.mean(all_scores)
class_sizes = {k: len(v) for k, v in data.items()}

# 平方和計算
ssb = sum(class_sizes[k] * (class_means[k] - overall_mean) ** 2 for k in data)
sse = sum((score - class_means[k]) ** 2 for k, scores in data.items() for score in scores)
sst = ssb + sse

# 結果表示
print("【各クラスの平均】")
for k in data:
    print(f"{k}組の平均: {class_means[k]:.3f} 点")
print(f"\n【全体の平均】: {overall_mean:.3f} 点")
print(f"\n【水準間平方和 (SSB)】: {ssb:.3f}")
print(f"【残差平方和 (SSE)】: {sse:.3f}")
print(f"【全体平方和 (SST)】: {sst:.3f}")

# グラフ描画
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
colors = {'A': 'skyblue', 'B': 'salmon', 'C': 'lightgreen'}
x_pos = 0
xticks = []
xtick_labels = []

for group, scores in data.items():
    xs = np.arange(x_pos, x_pos + len(scores))
    ys = scores
    ax.scatter(xs, ys, color=colors[group], label=f"{group}組の点数", zorder=3)
    ax.hlines(class_means[group], xmin=xs[0]-0.3, xmax=xs[-1]+0.3,
              color=colors[group], linestyle='--', label=f"{group}組 平均: {class_means[group]:.1f}点")
    x_pos += len(scores) + 1
    xticks.extend(xs)
    xtick_labels.extend([f"{group}{i+1}" for i in range(len(scores))])

# 全体平均線
ax.hlines(overall_mean, xmin=-1, xmax=x_pos-1, color='black',
          linestyle=':', linewidth=2, label=f"全体平均: {overall_mean:.1f}点")

# ラベル設定（すべて fontproperties=jp_font を明示）
ax.set_xticks(xticks)
ax.set_xticklabels(xtick_labels, rotation=45, fontproperties=jp_font)
ax.set_ylabel("点数", fontproperties=jp_font)
ax.set_title("各クラスの点数と平均（分散分析のイメージ）", fontproperties=jp_font)
ax.legend(prop=jp_font)
ax.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

【各クラスの平均】
A組の平均: 65.000 点
B組の平均: 77.500 点
C組の平均: 55.000 点

【全体の平均】: 64.375 点

【水準間平方和 (SSB)】: 609.375
【残差平方和 (SSE)】: 112.500
【全体平方和 (SST)】: 721.875

これで、水準間平方和、残差平方和が理解できました。ただ、この値出てきてなんなの？？🤔って感じですね。
結局ここの値から何か示唆が得られていないので、このままではなんの価値もない値です。なので、次はF検定を学ぼうと思います！！