Rを学びたい Step21 幾何分布

はじめに

Rを学びたのStep21です。今回は幾何分布に関して学んでいきます。

幾何分布って何？？

幾何分布とは、ベルヌーイ試行（成功または失敗しかない独立した試行）が繰り返される中で、初めて成功するまでの試行回数を記述します。

例えば：
　 ・コインを投げて表が出るまでの回数
　・ダイスを振って「1」が出るまでの回数

\begin{align*}
P(X = k) &= (1-p)^{k-1} p \quad \text{(幾何分布の確率質量関数)} \\

k & : \text{成功する試行の回数} \quad (k = 1, 2, 3, \dots) \\
p & : \text{各試行における成功確率} \\
1-p & : \text{失敗の確率} \\
\\
(1-p)^{k-1} & : \text{最初の } k-1 \text{ 回は失敗する確率} \\
p & : k \text{-回目で初めて成功する確率。}
\end{align*}

Rで学ぶ。

あるコインを投げたとき、表が出る確率は p = 0.3 です。このコインを何回か投げて、初めて表が出るまでの試行回数を考えます。この試行回数は幾何分布に従うとする。この時の幾何分布と累積分布関数（CDF）をplotしなさい。

# Parameter settings
p <- 0.3   # Success probability
k <- 1:20  # Number of trials (k)

# Probability Mass Function (PMF)
pmf <- dgeom(k - 1, prob = p)  # R's dgeom requires k-1

# Cumulative Distribution Function (CDF)
cdf <- pgeom(k - 1, prob = p)

# PMF Plot
plot(k, pmf, type = "h", lwd = 2, col = "blue",
     main = "Probability Mass Function (PMF) of Geometric Distribution",
     xlab = "Number of Trials (k)", ylab = "Probability",
     ylim = c(0, max(pmf) * 1.2))
points(k, pmf, pch = 16, col = "blue")
grid()

# CDF Plot
plot(k, cdf, type = "o", lwd = 2, col = "red",
     main = "Cumulative Distribution Function (CDF) of Geometric Distribution",
     xlab = "Number of Trials (k)", ylab = "Cumulative Probability",
     ylim = c(0, 1))
points(k, cdf, pch = 16, col = "red")
grid()