Rを学びたい Step12 標準偏差

はじめに

Rを学びたいStep12です。今回は標準偏差を学んでいきます！

標準偏差とは？

標準偏差（ひょうじゅんへんさ、Standard Deviation）は、データのばらつきを示す統計量の一つです。データが平均からどれだけ散らばっているかを表します。標準偏差が小さいほどデータは平均値の近くに集まっており、大きいほどデータは広く散らばっています。

標準偏差の求め方

1. データの平均値を計算する。
2. 各データ点から平均値を引き、その差を二乗する。
3. その二乗した値の平均を求める（分散）。
4. 分散の平方根を取る。

標準偏差は（各データ-平均値)の合計をそのまますると0になります。
負の数を考慮するため、2乗してその後平方根で戻すようです。

標準偏差の実用例

標準偏差を利用する例で身近なものは偏差値です。サンプルを例に標準偏差、偏差値を出していこうと思います。

1. 平均を算出

国語の平均点を出します。
(90+80+60+70+40)/5=68(点)

2. 分散を算出します。

\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2

((90-68)^2+(80-68)^2+(60-68)^2+(70-68)^2)+(40-68)^2)/5
=(22^2+12^2+(-8)^2+2^2+(-28)^2)/5
=(484 + 144 + 64 + 4 + 784)/5
=1480/5
=296

3. 標準偏差

先ほど算出した分散をルートをつけます。

 \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}

=√296
=17.204

4. 偏差値を表示する

では、最後に偏差値を出していきます。

{偏差値} = 50 + 10 \times \frac{x - \mu}{\sigma}

Aの偏差値：
　50 + 10 * (90-68)/17.204
= 50 + 10 * 1.2788 
= 50 + 12.788
=62.78

ソースコード

# データ
data <- c(90, 80, 60, 70, 40)

# 平均値
mean_value <- mean(data)  # 平均値

# 偏差の2乗の合計
squared_deviation <- sum((data - mean_value)^2)

# 母分散
variance_population <- squared_deviation / length(data)

# 母標準偏差（分散の平方根）
sd_population <- sqrt(variance_population)

# 結果の出力
cat("母分散:", variance_population, "\n")
cat("母標準偏差:", sd_population, "\n")

# 偏差値の計算
deviation_scores <- 50 + 10 * (data - mean_value) / sd_population

# 偏差値の出力
cat("偏差値:\n")
for (i in 1:length(data)) {
  cat(sprintf("得点: %d -> 偏差値: %.2f\n", data[i], deviation_scores[i]))
}

~/develop/R/r_study/standard_deviation  (main)$ Rscript standard_deviation.r                                            (base) 
母分散: 296 
母標準偏差: 17.20465 
偏差値:
得点: 90 -> 偏差値: 62.79
得点: 80 -> 偏差値: 56.97
得点: 60 -> 偏差値: 45.35
得点: 70 -> 偏差値: 51.16
得点: 40 -> 偏差値: 33.73