可変FPSなUnityで指数関数による速度変化

例えばあるキャラクターが速度speed、
位置posという値を持っているとします。

で「ググーッと急ブレーキで止まる」みたいなことやらせたいからと、
毎フレームの位置と速度の更新を
下記のようにやってしまうとFPSが変化した時に挙動が変わってしまう。

float speed = 1;　// 初速
Vector3 pos; // 現在位置
const float breakPow = 0.05f; // ブレーキ力。1未満。大体0.001から0.05ぐらいが実用的

// 毎フレーム呼び出し
void Update()
{
    // 速度更新
    speed *= (1 - breakPow); // 掛け算でブレーキ。ググーッと止まる

    // 位置更新
    pos.x += speed * Time.deltaTime;
}

FixedUpdateを使う、速度ではなく位置をイージングするなど対処方法はあるのですが、今回は数学で。

ということで、まず速度の変更はこうします。

// 指数関数で補間
float Interpolate(float from, float to, float pow, int fps, float t)
{
    float rate = 1 - Mathf.Pow(1 - pow, fps * t);
    return Mathf.Lerp(from, to, rate);
}

// 毎フレーム呼び出し
void Update()
{
    const int FPS = 120; // 基準となるFPS

    // FPSが変わっても大丈夫なように速度更新
    speed = Interpolate(speed, 0, breakPow, FPS, Time.deltaTime);

    // さて、移動量は・・・積分が必要！
    //pos.x += speed * Time.deltaTime;
}

あとは位置の更新ですが、こちらは定積分が必要。
もはや積分のことなんてとっくに忘れてしまったので、
ChatGPTさんにやってもらいました。

これが結果。

// fromからtoに向かって変化する場合の[0からt]までの定積分
float CalcDefiniteIntegral(float from, float to, float pow, int fps, float t)
{
    var a = to;
    var b = from - to;
    var p = 1 - pow;
    var q = fps;
    return a * t + b / (q * Mathf.Log(p)) * (Mathf.Pow(p, q * t) - 1);
}

ということでまとめるとこんな感じ。

// 毎フレーム呼び出し
void Update()
{
    const int FPS = 120; // 基準となるFPS

    // FPSが変わっても大丈夫なように位置更新
    pos.x += CalcDefiniteIntegral(speed, 0, breakPow, FPS, Time.deltaTime);

    // FPSが変わっても大丈夫なように速度計算
    speed = Interpolate(speed, 0, breakPow, FPS, Time.deltaTime);
}