git checkout -b LOCAL_BRANCH_NAME origin/REMOTE_BRANCH_NAME
でチェックアウトできます。
LOCAL_BRANCH_NAMEとREMOTE_BRANCH_NAMEを変えればローカルとリモートでブランチ名が変えられます。
自分は基本リモートブランチとローカルブランチの名前を変えたいことがないので、
$ git config --global --edit
[alias]
new = !sh -c 'git checkout -b $0 origin/$0'
とエイリアスに登録しています。
これで登録していると、以下でリモートブランチをローカルにチェックアウトできます。
$ git new REMOTE_BRANCH_NAME