【環境】
ruby 2.5.0
rails 5.1.2
fullcalendar-rails

【目的】
railsのアプリ上で、fullcalendarでイベントの時間を変更したときに、DBにも変更を反映すること。

【フロー】
イベントの時間が変更されたことを受け取る
（fullcalendarでの表示の変更）
↓
ajaxでpatch
↓
DBでも変更

【コード】

calendar.js


$(document).ready(function() {
    //イベントを編集するための関数を設定
    //ajaxでpostするときは、自分でcsrf-tokenを投げるための設定が必要
    //ajaxでpatchする際は、postでmethodをpatchに指定する
    edit_event = function (start, end, id) {
      $.ajaxPrefilter(function(options, originalOptions, jqXHR) {
        var token;
        if (!options.crossDomain) {
          token = $('meta[name="csrf-token"]').attr('content');
          if (token) {
            return jqXHR.setRequestHeader('X-CSRF-Token', token);
          }
        }
      });
      $.ajax({
        type: "post",
        url: "/editevent",
        data: {
          start: start.toISOString(),
          end: end.toISOString(),
          id: id,
          _method: 'PATCH'
        }
      }).done(function(data){
        alert("変更しました!");
      }).fail(function(data){
        alert("変更できませんでした。");
      });
    };

    $('#calendar').fullCalendar({
      header: {
        right: 'month,agendaWeek,agendaDay'
      },

      editable: true,
      eventResize: function(event) {
        var start = event.start;
        var end = event.end;
        var id = event.id;
        edit_event(start, end, id);
      },
    });
});

config.rb


patch '/editevent', to: 'events#edit_event'

events_controller.rb


class EventsController < ApplicationController
    def edit_event
      starttime = params[:start] 
      endtime = params[:end]
      event = Event.find(params[:id])
      event.update(starttime: starttime,
                    endtime: endtime)
    end
end

コードは一部簡略化していますが、これでも動くと思います。

【参考にしたサイト】
【初心者向け】Rails5＋FullCalendarでイベントを登録する
 jQuery.ajaxPrefilter() | jQuery API Documentation
fullcalendar